背包九讲：01背包的内循环逆序问题

对于01背包，用二维数组做DP的情况如下：

F[i,v]代表，在背包容量为v的情况下，从前i件物品中选出若干件（因背包容量的限制，可能不会所有i件都在里面，取最大值时背包里应该是权值相对较大的那些物品）所能得到的最大价值。

第一句对dp设置初始条件。

两个for循环遍历所有的情况:i从1~N表示从i件物品中选取，v从ci~V表示背包的大小（现在考虑的是第i件物品的放与不放，因此背包应该至少大于等于i物品的费用，否则无意义）

最关键的问题在于max{F[i-1,v],F[i-1,v-Ci]+wi}这一句

F[i-1,v]表示在背包容量v的情况下，从前i-1个物品中怎样放置使价值最大，这也代表，对于第i件物品，我们不选择将它放入背包，而去从前i-1个物品中选择放置策略，但这与F[i-1,v-Ci]是不同的，因为我们现在只是选择不把这个i放进去，而不代表我们要削减背包的容量。

F[i-1,v-Ci]+wi表示，在背包容量为v的情况下，我们选择将这个第i件物品放入背包的情况。此时F[i,v]应该是，在放入之前背包的最大价值，加上放入之后的最大价值。而放入之前背包的最大价值为F[i-1,v-Ci]。

仔细思考F[i-1,v]与F[i-1,v-Ci]的区别：

现在我们计算的是F[i,v]，也就是说背包的容量已经定死为v了，F[i-1,v]是因为我们放弃了将i加入背包，背包的容量是不变的。而F[i-1,v-Ci]是因为，现在我们选择将i加入背包，也就是说，这个背包至少已经有一个i了，这个i的容量也为Ci了，而背包总共为v,现在要计算它的最大价值，就要加上在v-Ci中，在前i-1个物品中做选择使背包容量最大的值了。

这个方法使用的是二维数组，而实际上，i时刻的结果只与i-1时刻下的策略有关。

我们考虑用一个一维数组来进行dp。

对于一维数组来说，它无法保存两个状态i与v,但是，由于i只与i-1有关，因此如果我们逐步更新i，在i时刻进行放置之前，F[v]实际上保存的就是i-1下的最优值，而更新后直到i+1时刻的放置策略之前，F[v]都保存的是i下的最优值。

因此：

首先解释下max{F[v],F[v-Ci]+Wi}:

我们已经明确了，F[v]表示的是i下的最优值。

而在i下，在进行到F[v]=max{F[v],F[v-Ci]+Wi};之前，我们看F[v]，这个时候的F[v]实际上是保存的是i-1下背包容量为v的最优值，因此：

在对F[v]赋值之前，F[v]表示，不考虑第i件物品，只考虑前i-1个物品的情况下，在背包容量为v下的最优解。

而F[v-Ci]表示，在i-1下，背包容量为v-Ci的最优解，再加上右边的Wi，就表示一定将i放入背包的情况。

 

在解释下关于逆序的问题:

从上面可以看到，对v来说，它是从V递减到Ci的，而且一定只能是逆序，这是因为：

从内循环来说，每一次内循环，都相当于更新在i下，背包容量为v最优解。更新之前，F[v]表示i-1下的最优解，而一旦赋值结束，F[v]就表示i下的最优解了。

如果为顺序，当我们进行到F[v]时，要使用到F[v-Ci]，但是这个F[v-Ci]必须是i-1下的最优解，而由于顺序的原因，在我们将v递增到（顺序的情况下）v时，已经经历了v-Ci这个背包容量了，换句话说，此时v下的F[v-Ci]，已经代表的是i下背包容量为v-Ci的最优解了，而我们需要的是i-1下，背包容量为v-Ci的最优解！

因此，我们必须要使用逆序，这样当进行到v时，F[v-Ci]还未更新，它还依然表示i-1下的最优解。