树链剖分学习笔记

树链剖(pōu)分

定义

树链剖分用于将树分割成若干条链的形式，以维护树上路径的信息。

树链剖分有多种形式，如重链剖分、长链剖分等，通常说的树链剖分指重链剖分。

重链剖分

首先给出一些定义：

重子节点：所有子节点中子树大小最大的子节点
轻子节点：除重子节点的其它子节点
重边：从这个节点连到重子节点的边
轻边：从这个节点到其它子节点的边
重链：将若干条重边相连得到的链

（图源：oi-wiki)

跑两个 dfs ，第一个跑出来子树大小，深度，父节点和重子节点，第二个 dfs 优先扩展重子节点，记录新编号和新点权，这样能保证先剖出来的一定是重链。

int hson[MAXN], // 重子节点
    fa[MAXN], // 父节点
    cnt[MAXN], // 子树大小
    dep[MAXN], // 深度
    val[MAXN], // val[i]表示初始编号i的点的点权
    top[MAXN], // 所在链的顶
    id[MAXN], // 新编号(dfn序)
    a[MAXN]; // 新编号为i的点的点权
void dfs(int u,int f)
{
    cnt[u]=1;
    for(auto son:Tree[u])
    {
        if(son==f) continue;
        dep[son]=dep[u]+1;fa[son]=u;
        dfs(son,u);cnt[u]+=cnt[son];
        if(cnt[son]>cnt[hson[u]]) hson[u]=son;
    }
}
void dfs1(int u,int f,int t)
{
    id[u]=++tot;a[tot]=val[u];top[u]=t;
    if(hson[u]) dfs1(hson[u],u,t);
    for(auto son:Tree[u]) if(son!=hson[u]&&son!=f) dfs1(son,u,son);
}

重链剖分的性质

树上每个节点属于且仅属于一条重链
若 \((u,v)\) 是一条轻边，那么 \(size(v)<size(u)/2\)。
从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小于 \(\log_2n\)。

因此，每向下走一条轻边时，子树大小都至少会除以 \(2\)，所以对于树上任意一条路径最多会经过 \(\log_2n\) 条重链。

子树中的 \(id\) ，也就是 \(dfn\) ，一定是连续的。

一些简单操作

LCA

每次把重链顶深度较大的点向上跳重链，如果两个点在同一条链上，就直接返回深度更小的。时间复杂度 \(O(\log_2n)\)。

int lca(int x,int y)
{
    int fx=top[x],fy=top[y];
    while(fx!=fy)
    {
        if(dep[fx]<dep[fy]) swap(fx,fy),swap(x,y);
        x=fa[fx],fx=top[x];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}

路径上的点权修改

过程和求 LCA 类似，由于每一条重链上的 dfn 值都是连续的，可以用线段树修改，在向上跳的过程中把每条重链都修改了，最后修改剩余部分。时间复杂度 \(O(\log_2^2n)\)。

void update_chain(int x,int y,int k)
{
    int fx=top[x],fy=top[y];
    while(fx!=fy)
    {
        if(dep[fx]<dep[fy]) swap(fx,fy),swap(x,y);
        update(1,1,tot,id[fx],id[x],k);
        x=fa[fx],fx=top[x];
    }
    if(id[x]>id[y]) swap(x,y);
    update(1,1,tot,id[x],id[y],k);
}

路径上的点权和查询

在向上跳的时候答案加上每条重链的和，最后加上剩余部分。

int query_chain(int x,int y)
{
    int res=0,fx=top[x],fy=top[y];
    while(fx!=fy)
    {
        if(dep[fx]<dep[fy]) swap(fx,fy),swap(x,y);
        res+=query(1,1,tot,id[fx],id[x]);
        x=fa[fx],fx=top[x];
    }
    if(id[x]>id[y]) swap(x,y);
    res+=query(1,1,tot,id[x],id[y]);
    return res%mod;
}