算法第三章实践报告

1.实践题目：数字三角形 

 

2.问题描述：

　　给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

 

3.算法描述：

　　首先，将这个数字三角形存储在一个二维数组num[n+1][n+1]中，且采用左下角的直角三角形的方式存储（第0行和第0列储存为0，方便操作）。例如，将PTA上的样例输入存储为如下所示：

　　0  0  0  0  0  0

　　0  7  0  0  0  0
　　0  3  8  0  0  0
　　0  8  1  0  0  0
　　0  2  7  4  4  0
　　0  4  5  2  6  5

　　然后，第1行第1列（7）开始从上到下遍历，并将它置为它上方的数及左上方的数的较大值与它自身的和：num[i][j] = num[i][j] + max(num[i-1][j-1], num[i-1][j]);

　　遍历完成后，最后一行的数都是它上面的数的较大值的总和，以PTA的样例输入为例，经过上述操作以后该数组变成：

　　0  0   0   0   0   0

　　0  7   0   0   0   0 
　　0 10 15  0   0   0 
　　0 18 16 15  0   0 
　　0 20 25 20 19  0 
　　0 24 30 27 26 24

　　因此所求的最大路径就是最后一行的最大值。这里使用简单求数组最大值的方法找到了最大值为30：

　　int max = 0;
　　for (int i = 1; i <= n; i++)
　　　　if (num[n][i] > max)
　　　　　　max = num[n][i];

3.算法时间及空间复杂度分析：

　　时间复杂度：该算法在遍历阶段采用了双层for循环进行遍历，因此时间复杂度为O(n^2)。

　　空间复杂度：该算法是直接在原数组上操作的，因此辅助空间较少，空间复杂度为O(1)。

 

4.心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

　　这个题目的主要难点在于如何保存数组以及写出递推公式。由这个数字三角形的形状我第一反应是用二叉树来保存，然后使用中序遍历或前序遍历来找到最大路径。但好像没有预设的二叉树的数据结构，而且操作也有诸多困难，因此我最后选择了二维数组。这里我用行列长度比原长度大1的方式，空出第0行和第0列，主要是为了递归时的方便，不用考虑边界的问题。好在这道题的递推公式也不难写，因此我按自己对动态规划的印象写出了num[i][j] = num[i][j] + max(num[i-1][j-1], num[i-1][j])。这道题有一个坑是我们往往第一反应是“每次分叉都选最大值，那么结果不就是最大路径了吗？”但这其实是犯了一个常见的错误：认为局部最优解就是整体最优解。例如，样例输入中，我们每次分叉选择较大值，即7+8+1+7+5=28。但实际上最优解是3+7+8+7+5=30。因此，我们在解决类似问题的时候，一定要注意这个细节，即局部最优解并不一定等于整体最优解。