最小生成树算法你会了吗？
求最小生成树
最小生成树：
设G=(V，E)是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价，在G的所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。
生成树：
一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。只要能连通所有顶点而又不产生回路的任何子图都是它的生成树。
应用实例：
要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。
1.prim算法
prim 算法采用的是一种贪心的策略。
朴素prim 算法时间复杂度：O(n * n)
思路：
t<—— 找到不在集合中的距离最近的点，t从第一个节点开始用
t更新其它点到集合的距离将
t加入集合，更新权重
【题目描述】
acwing858
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 nn 和 mm。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。输入样例：
4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4输出样例：
6
【参考代码】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N];//存储图
int dist[N];//存储各个节点到生成树（集合）的最短距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int n, m;
int prim()
{
//1
memset(dist ,0x3f, sizeof dist);
// 从 1 号节点开始扩充连通的部分，即disti[1] 置为 0。
dist[1] = 0;
//2
int res = 0;//权重之和
for(int i = 0; i < n; i++)//循环n次
{
//(1)找出 不属在集合s中 && 距离集合最小的点 t
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
}
if(dist[t] == INF) return INF;// 若当前节点的距离为INF,则表示没有和集合中点相连的边。（不连通）
//(3)-把点t加到集合当中去，更新权值
//写在前面，如果一个节点本身出现负环，下面这句更新后，会影响结果，比如g[t][j],当t = j,更新了g[t][t],影响res结果
res += dist[t];
st[t] = true;// 加入集合s
//(2) 用t更新其它点到集合的距离
for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(g, 0x3f, sizeof g);
// 输入图
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 无向图：可能有重边
}
int t = prim();
if(t == INF) puts("impossible");
else printf("%d", t);
return 0;
}
Dijkstra算法与Prim算法的联系：
Dijkstra算法是更新到起始点的距离，Prim是更新到集合S的距离
一些注意事项：
从第一个节点开始：
为了与前面学习的的Dijkstra算法相照应，方便记忆
更新权重写在前面：
写在前面，如果一个节点本身出现负环，下面这句更新后，会影响结果，比如
g[t] [j],当t = j,更新了g[t][t],影响res结果
2.Kruskal算法
Kruskal算法采用的是另一种贪心的策略。
Kruskal 算法时间复杂度：O(eloge)
思路：
Kruskal算法为了提高每次贪心选择时查找最短边的效率，可以先将图G中的边按代价从小到大排序，则这个操作的时间复杂度为O(eloge)，其中e为无向连通网中边的个数。对于两个顶点是否属于同一个连通分量，可以用并查集的操作将其时间性能提高到O(e)，所以，Kruskal算法的时间性能是O(eloge)。
将所有的边按权重从小到大排序O(elog(e))
枚举每条边
a,b，权重为cif
a,b两点不连通 O(e) 将
a,b边加入集合中注意：
（1）操作2，判断是否为同一个连通分量；合并顶点——>并查集
（2）需要使用变量cnt来记录加入集合的边数，若
cnt < n - 1表明不能遍历所有点
存储：
不用复杂的数据结构，用结构体将边存下来即可！
【题目描述】
acwing859
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 vv 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10001000。输入样例：
4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4输出样例：
6
【参考代码】
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f;
int p[N]; //存储祖宗节点
int n, m;
//结构体：存边
struct Edge
{
int a,b,w;
bool operator< (const Edge &W)const // 重载，方便比较大小(按边权重大小排序)
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
// 并查集操作 —— 返回祖宗节点 + 路径压缩
int find(int x)
{
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m); // 将边升序排序
// 初始化并查集
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ ) // 每轮拿到最短边
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
//如果 a,b两点不连通，则合并
a = find(a), b = find(b);
if(a != b)
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++;
}
}
if(cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = {a, b, w}; // 存边
}
int t = kruskal();
if(t == INF) puts("impossible");
else printf("%d", t);
return 0;
}
学习内容源自：
acwing算法基础课
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