最小生成树算法你会了吗?

求最小生成树

最小生成树:

G=(VE)是一个无向连通网,生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价,在G的所有生成树中,代价最小的生成树称为最小生成树。

生成树:

一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有n个结点,并且有保持图连通的最少的边。只要能连通所有顶点而又不产生回路的任何子图都是它的生成树。

应用实例:

要在n个城市之间铺设光缆,主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信,但铺设光缆的费用很高,且各个城市之间铺设光缆的费用不同,因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

1.prim算法

prim 算法采用的是一种贪心的策略。

朴素prim 算法时间复杂度:O(n * n)

image

思路:

  1. t <—— 找到不在集合中的距离最近的点,t从第一个节点开始

  2. t更新其它点到集合的距离

  3. t加入集合,更新权重

image

【题目描述】

acwing858

给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 VV 表示图中点的集合,EE 表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 nn 和 mm。

接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

数据范围

1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。

输入样例:

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例:

6

【参考代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510; 
const int INF = 0x3f3f3f3f; 
int g[N][N];//存储图
int dist[N];//存储各个节点到生成树(集合)的最短距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int n, m;

int prim()
{
    //1
    memset(dist ,0x3f, sizeof dist);
    // 从 1 号节点开始扩充连通的部分,即disti[1] 置为 0。
    dist[1] = 0;
    //2
    int res = 0;//权重之和
    for(int i = 0; i < n; i++)//循环n次
    {
        //(1)找出 不属在集合s中 && 距离集合最小的点 t
        int t = -1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        }
        if(dist[t] == INF) return INF;// 若当前节点的距离为INF,则表示没有和集合中点相连的边。(不连通)

        //(3)-把点t加到集合当中去,更新权值
        //写在前面,如果一个节点本身出现负环,下面这句更新后,会影响结果,比如g[t][j],当t = j,更新了g[t][t],影响res结果
        res += dist[t];
        st[t] = true;// 加入集合s
        
        //(2) 用t更新其它点到集合的距离
        for(int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);

    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    // 输入图
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 无向图:可能有重边
    }
    
    int t = prim();
    if(t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d", t);
    
    return 0;
}

Dijkstra算法与Prim算法的联系:

Dijkstra算法是更新到起始点的距离,Prim是更新到集合S的距离

一些注意事项:

从第一个节点开始:

​ 为了与前面学习的的Dijkstra算法相照应,方便记忆

更新权重写在前面:

​ 写在前面,如果一个节点本身出现负环,下面这句更新后,会影响结果,比如g[t] [j],当t = j,更新了g[t][t],影响res结果

2.Kruskal算法

Kruskal算法采用的是另一种贪心的策略。

Kruskal 算法时间复杂度:O(eloge)

image

思路:

Kruskal算法为了提高每次贪心选择时查找最短边的效率,可以先将图G中的边按代价从小到大排序,则这个操作的时间复杂度为O(eloge),其中e为无向连通网中边的个数。对于两个顶点是否属于同一个连通分量,可以用并查集的操作将其时间性能提高到O(e),所以,Kruskal算法的时间性能是O(eloge)。

  1. 将所有的边按权重从小到大排序O(elog(e))

  2. 枚举每条边a,b,权重为c

    if a,b两点不连通 O(e)

    ​ 将 a,b边加入集合中

注意:

​ (1)操作2,判断是否为同一个连通分量;合并顶点——>并查集

​ (2)需要使用变量cnt来记录加入集合的边数,若cnt < n - 1表明不能遍历所有点

image

存储:

​ 不用复杂的数据结构,用结构体将边存下来即可!

【题目描述】

acwing859

给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 VV 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 vv 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式

共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

数据范围

1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10001000。

输入样例:

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例:

6

【参考代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f;

int p[N]; //存储祖宗节点
int n, m;

//结构体:存边
struct Edge
{
    int a,b,w;

     bool operator< (const Edge &W)const // 重载,方便比较大小(按边权重大小排序)
    {
        return w < W.w;
    }
    
}edges[M];

// 并查集操作 —— 返回祖宗节点 + 路径压缩
int find(int x)
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m); // 将边升序排序
    
    // 初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
    
    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ) // 每轮拿到最短边
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b,  w = edges[i].w;
        
        //如果 a,b两点不连通,则合并
        a = find(a), b = find(b);
        if(a != b)
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++;
        }
    }
    
    if(cnt < n - 1) return INF;
    return res;
    
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w}; // 存边
    }
    
    int t = kruskal();
    
    if(t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d", t);
    
    return 0;
}

学习内容源自:

​ acwing算法基础课

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posted @ 2021-12-30 21:07  时间最考验人  阅读(223)  评论(2编辑  收藏  举报