Numpy 学习（一）

1.Numpy 中Matrices和arrays的区分

Numpy matrices必须是2维的,但是 numpy arrays (ndarrays) 可以是多维的（1D，2D，3D····ND）. Matrix是Array的一个小的分支，包含于Array。所以matrix 拥有array的所有特性。

在numpy中matrix的主要优势是：相对简单的乘法运算符号。例如，a和b是两个matrices，那么a*b，就是矩阵积。

import numpy as np

a=np.mat('4 3; 2 1')
b=np.mat('1 2; 3 4')
print(a)
# [[4 3]
#  [2 1]]
print(b)
# [[1 2]
#  [3 4]]
print(a*b)
# [[13 20]
#  [ 5  8]]

matrix 和 array 都可以通过objects后面加.T 得到其转置。但是 matrix objects 还可以在后面加 .H f得到共轭矩阵, 加 .I 得到逆矩阵。

相反的是在numpy里面arrays遵从逐个元素的运算，所以array：c 和d的c*d运算相当于matlab里面的c.*d运算。

c=np.array([[4, 3], [2, 1]])
d=np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(c*d)
# [[4 6]
#  [6 4]]

而矩阵相乘，则需要numpy里面的dot命令 :

print(np.dot(c,d))
# [[13 20]
#  [ 5  8]]

** 运算符的作用也不一样：

print(a**2)
# [[22 15]
#  [10  7]]
print(c**2)
# [[16  9]
#  [ 4  1]]

因为a是个matrix，所以a**2返回的是a*a，相当于矩阵相乘。而c是array，c**2相当于，c中的元素逐个求平方。

问题就出来了，如果一个程序里面既有matrix 又有array，会让人脑袋大。但是如果只用array，你不仅可以实现matrix所有的功能，还减少了编程和阅读的麻烦。

当然你可以通过下面的两条命令轻松的实现两者之间的转换：np.asmatrix和np.asarray

对我来说，numpy 中的array与numpy中的matrix，matlab中的matrix的最大的不同是，在做归约运算时，array的维数会发生变化，但matrix总是保持为2维。例如下面求平均值的运算

>>> m = np.mat([[1,2],[2,3]])
>>> m
matrix([[1, 2],
        [2, 3]])
>>> mm = m.mean(1)
>>> mm
matrix([[ 1.5],
        [ 2.5]])
>>> mm.shape
(2, 1)
>>> m - mm
matrix([[-0.5,  0.5],
        [-0.5,  0.5]])

对array 来说

>>> a = np.array([[1,2],[2,3]])
>>> a
array([[1, 2],
       [2, 3]])
>>> am = a.mean(1)
>>> am.shape
(2,)
>>> am
array([ 1.5,  2.5])
>>> a - am #wrong
array([[-0.5, -0.5],
       [ 0.5,  0.5]])
>>> a - am[:, np.newaxis]  #right
array([[-0.5,  0.5],
       [-0.5,  0.5]])

2.Numpy 求解线性方程组

例如我们要解一个这样的二元一次方程组：

x + 2y = 3
4x ＋ 5y = 6

当然我们可以手动写出解析解，然后写一个函数来求解，这实际上只是用 Python 来单纯做“数值计算”. 但实际上，numpy.linalg.solve 可以直接求解线性方程组.

一般地，我们设解线性方程组形如 Ax=b，其中 A 是系数矩阵，b 是一维(n 维也可以，这个下面会提到)，x 是未知变量. 再拿上面地最简单的二元一次方程组为例，我们用 numpy.linalg.solve 可以这样写：

In [1]: import numpy as np
   ...: A = np.mat('1,2; 4,5')    # 构造系数矩阵 A
   ...: b = np.mat('3,6').T       # 构造转置矩阵 b （这里必须为列向量）
   ...: r = np.linalg.solve(A,b)  # 调用 solve 函数求解
   ...: print r
   ...:
Out[1]: [[-1.]
         [ 2.]]

那么前面提到的“ n 维”情形是什么呢？实际上就是同时求解多组形式相同的二元一次方程组，例如我们想同时求解这样两组：

x + 2y = 3
4x ＋ 5y = 6

和

x + 2y = 7
4x ＋ 5y = 8

就可以这样写：

In [2]: import numpy as np
   ...: A = np.mat('1,2; 4,5')          # 构造系数矩阵 A
   ...: b = np.array([[3,6], [7,8]]).T  # 构造转置矩阵 b （这里必须为列向量），
   ...: 注意这里用的是 array
   ...: r = np.linalg.solve(A,b)        # 调用 solve 函数求解
   ...: print r
   ...:
Out[2]: [[-1.         -6.33333333]
         [ 2.          6.66666667]]

`eig(x) 用来求解矩阵x的特征值和特征向量`

矩阵的转置以及求解Ax=Y的解

3.高斯分布（Gaussian Distribution）的概率密度函数（probability density function）：

对应于numpy中：

numpy.random.normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

参数的意义为：

loc：float
    此概率分布的均值（对应着整个分布的中心centre）
scale：float
    此概率分布的标准差（对应于分布的宽度，scale越大越矮胖，scale越小，越瘦高）
size：int or tuple of ints
    输出的shape，默认为None，只输出一个值

我们更经常会用到的np.random.randn(size)所谓标准正态分布（ $μ = 0, σ = 1$