洛谷 P10936 导弹防御塔 题解

题目描述请移步 https://www.luogu.com.cn/problem/P10936

• 题目简述

有n个防御塔，每个防御塔都有充足的导弹

导弹需要一定时间发出，又需要一定时间冷却

导弹有确定的速度，发出后会沿最短路径攻击任意一个入侵者

有m个入侵者，给定防御塔和入侵者的坐标，求至少多久才能击退所有入侵者

• 解题思路

经过分析，发现直接求最少多久似乎不太可行，于是考虑二分，将问题转化为验证一个时长是否可行

在一定时间内，每个防御塔可以发射固定数量个导弹，这些导弹必须可以击中所有的入侵者，否则不可行

我们可以处理出每个入侵者能被哪些导弹击中（第i个防御塔第1枚，第i个防御塔第2枚...），他必须被其中一枚击中

这有些类似二分图，将入侵者看作一类点，防御塔看作一类点，入侵者与能击中其的导弹连边

如果最大匹配小于入侵者数量，则不可行；反之，则可行

这样的复杂度或许有些高，但"N,M≤50"的数据还是可以通过的

• 易错点

1. 题目中t1的单位是秒，需先转成分钟

2. 本题许多变量涉及小数，如t1，二分l_r_mid，还有check函数上传的量，注意使用double

3. 先输入的是m个入侵者的坐标，而非n个防御塔

• 代码实现

#include <iostream>
#include <utility>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iomanip>
using namespace std;
const int MAX=55;
const int MAXK=2505; 
const double eps=1e-7;//二分精度 
int n,m;
double t1,t2,v;
pair <double,double> a[MAX],b[MAX];
vector <int> edge[MAX];//哪些防御塔能打到这个敌人 
int match[MAXK];//二分图匹配 
bool vis[MAXK];
double dis(int i,int j){//欧几里得距离 
	return sqrt((a[i].first-b[j].first)*(a[i].first-b[j].first)+(a[i].second-b[j].second)*(a[i].second-b[j].second));
}
bool find(int x){//二分图 
	for(int j=0;j<edge[x].size();j++){
		int now=edge[x][j];
		if(vis[now]==false){
			vis[now]=true;
			if(match[now]==0||find(match[now])==true){
				match[now]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
bool check(double x){
	int tot=(x+t2)/(t1+t2);
	tot=min(tot,m);//总共能发射多少枚导弹 
	for(int j=1;j<=m;j++){//敌人 
		edge[j].clear();
		for(int i=1;i<=n;i++){//防御塔 
			for(int k=1;k<=tot;k++){
				if(dis(i,j)/v+k*t1+(k-1)*t2<=x){//可以打到 
					edge[j].push_back((i-1)*tot+k);
				} 
			}
		}
	}
	memset(match,0,sizeof(match));
	for(int i=1;i<=m;i++){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(find(i)==false){//如果有一个入侵者无法被击退则不可行 
			return false;
		}
	}
	return true;
} 
int main(){
	cin>>n>>m>>t1>>t2>>v;
	t1=t1/60.0;//注意t1单位是秒 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>b[i].first>>b[i].second;//入侵者 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].first>>a[i].second;//防御塔 
	}
	double l=0,r=1e9;
	while(r-l>eps){//小数二分 
		double mid=(l+r)/2.0;
		if(check(mid)==true){
			r=mid;
		}else{
			l=mid;
		}
	}
	cout<<fixed<<setprecision(6)<<l;//依据题意保留小数 
}