02-3线性代数-矩阵

认识矩阵

矩阵（matrix）是线性代数的核心工具，是一个由数构成的二维数组。排列成 $m$ 行 $n$ 列，记作 $A \in R^{m \times n}$ 。

和科学计算numpy里array的区别是，矩阵必须是2维的，但是array可以是多维的。

矩阵的维数:即行数×列数。

A_ij指第 i 行，第 j 列的元素。

例如下面这个是 3×2 矩阵，即 3 行 2 列

矩阵：即描述线性代数中线性关系的参数，即矩阵是一个线性变换，可以将一些向量转换为另一些向量。

初等代数中，y=ax表示的是x到y的一种映射关系，其中a是描述这中关系的参数。

线性代数中，Y=AX表示的是向量X和Y的一种映射关系，其中A是描述这种关系的参数。

数域F中m*n个数排成m行n列，数域F上的矩阵，当F为实数域R时，A叫做实矩阵，当F为复数域C时，A叫做复矩阵。

矩阵和行列式

当矩阵是方阵的时候，它就有行列式：

矩阵与向量

向量是一种特殊的矩阵，当m=1或者n=1的时候，称A为行向量或者列向量。

下面展示的就是三维列向量(3×1)

矩阵的应用

1.线性方程组求解
矩阵形式 $A x = b$ 可表示复杂方程组，通过高斯消元法或矩阵逆求解。

2.计算机图形学

变换矩阵（如旋转、平移、缩放）用于三维模型的位置和姿态调整。
例如，二维旋转矩阵：

3.机器学习与数据科学

协方差矩阵：描述数据特征间的相关性。
权重矩阵：神经网络中连接不同层的参数。

4.量子力学
量子态和算符用矩阵表示，如泡利矩阵描述量子比特操作。

总结

核心作用：矩阵是表示线性变换、求解方程组、处理多维数据的通用工具。
关键性质：秩、行列式、特征值等不变量揭示了矩阵的深层结构。
应用广泛性：从物理学到人工智能，矩阵是建模与计算的基石。

通过掌握矩阵运算和分解方法，可以高效解决工程和科学中的复杂问题。建议结合实际问题（如数据降维、图像变换）进行练习，以深化理解。

矩阵同型与相等

特殊矩阵

负矩阵

零矩阵

如果矩阵A中的所有元素(m*n个)均为0，那么此时矩阵A叫做零矩阵，可以记作0。

方阵

上三角矩阵、下三角矩阵

对角矩阵

单位矩阵

数量矩阵

数量矩阵就是主对角线上都是K，任何矩阵乘以数量矩阵，都是原来的k倍，例如：

2 0 0

0 2 0

0 0 2

矩阵的基本运算

矩阵和标量的运算

1. 数学视角

严格线性代数：矩阵加法要求两个矩阵维度完全相同。标量无法直接与矩阵相加减乘除（除非显式将标量转换为同维矩阵）。
数值计算扩展：实际应用中，标量加矩阵通常表示将标量加减乘除到矩阵的每个元素上，即：

矩阵和矩阵的加法

只有当两个矩阵是同型矩阵时（行列数相等），才能进行加法 运算.

矩阵的加法与减法要求进行操作的两个矩阵A和B具有相同的阶，假设A为m*n阶矩阵，B为m*n阶矩阵，那么C=A±B也是m*n阶的矩阵，并且矩阵C的元素满足：c_{ij =}a_ij ±b_ij

例:

矩阵与数的乘

数乘：将数λ与矩阵A相乘，就是将数λ与矩阵A中的每一个元素相乘，记作λA；结果C=λA，并且C中的元素满足：c_ij=λa_ij

矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.（行列式如果乘以k，最后的值要乘以k平方）

矩阵与向量的乘法

矩阵与向量的乘法必须满足矩阵的列数等于向量的长度（即向量的维度）

矩阵和向量的乘法如图：m×n 的矩阵乘以 n×1 的向量，得到的是 m×1 的向量。

例:

1*1+3*5 = 16

4*1+0*5 = 4

2*1+1*5 = 7

行向量与列向量的区别

列向量：维度为 $n \times 1$ ，可直接与 $m \times n$ 矩阵相乘。
行向量：维度为 $1 \times n$ ，需转置为列向量后才能与矩阵相乘。
例如： $A v^{⊤} （错误，维度不匹配） vs A v （正确，维度匹配） .$

$在编程中（如 Python 的 NumPy 或 MATLAB），若向量以行形式存储，需显式转置：$

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])  # 3x2 矩阵
v_row = np.array([7, 8])                 # 行向量 (1x2)
v_col = v_row.reshape(-1, 1)             # 转换为列向量 (2x1)

result = A @ v_col  # 正确：3x2 矩阵 × 2x1 向量 → 3x1 向量
# 错误示例：A @ v_row 会因维度不匹配报错

矩阵与矩阵的乘法

矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和第二个矩阵B的行数相等时才能够定义，假设A为m*s阶矩阵，B为s*n阶矩阵，那么C=A*B是m*n阶矩阵。

矩阵乘法：其实就是拿A矩阵的每一行，和B矩阵的每一列相乘，得到C矩阵的每一个元素：

举例：A*B

A的第一行和B的3个列分别相乘，得到C的第一行的3个数据C[0]=[(1*1+2*1+3*2),(1*2+2*1+3*1),(1*1+2*2+3*1)]

1　　 2 　　3　　　　　　　　1　　2　　1　　　　　　　　 8　　7　　8
A=4 　　5　　 6　　　　　 B= 　1　　1　　2 C= x　　x　　x
7 　　8　　 0　　　　　　　　 2　　1　　1　　　　　　　　x　　x　　x　　

结论：m×n 矩阵乘以 n×o 矩阵，变成 m×o 矩阵。即矩阵A的行数和矩阵B的列数。矩阵相乘不满足交换律。

矩阵乘法遵循准则：

(M行, N列)*(N行, L列) = (M行, L列)

举例：比如说现在有两个矩阵 A 和 B，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

练一练

求矩阵AxB的结果

答案

矩阵乘法的特点

不满足交换律：A×B≠B×A

不满足消去律：

满足结合律：A×（B×C）=（A×B）×C
满足分配律： $A (B + C) = A B + A C$

矩阵乘法中存在化零因子，而实数乘法中不存在化零因子。

转置

矩阵的转置：把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程叫做矩阵的转置。记 A ^T=B。使用A^T表示A的转置。

（B 的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素）

直观来看，将 A 的所有元素绕着一条从第 1 行第 1 列元素出发的右下方 45 度的射线作镜面反转，即得到 A 的转置。

例：

方阵

说明：以下这些概念仅适用于方阵：

概念	是否仅适用于方阵？	说明
逆矩阵	是	只有方阵且可逆（行列式非零）时存在逆矩阵。
伴随矩阵	是	伴随矩阵是方阵的余因子矩阵转置，非方阵无定义。
行列式	是	行列式仅针对方阵定义，非方阵无行列式。
代数余子式	是	代数余子式基于子矩阵的行列式，仅方阵的元素有代数余子式。
上三角矩阵	是	严格定义为方阵中主对角线下方元素全为零的矩阵。
下三角矩阵	是	严格定义为方阵中主对角线上方元素全为零的矩阵。
单位矩阵	是	单位矩阵是主对角线为1、其余元素为0的方阵，非方阵无单位矩阵定义。

方阵的行列式

伴随矩阵A^*

伴随矩阵（又称古典伴随矩阵）是方阵的重要概念，与矩阵求逆、行列式密切相关。伴随矩阵是原矩阵的代数余子式组成的矩阵的转置。伴随矩阵记作 $adj (A)或A*。$

注意：A的代数余子式A*的元素排列顺序：A的行变成了A*的列

注：

A：矩阵
A*：A的伴随矩阵
|A|:A的行列式
E:单位矩阵（主对角线元素都是1，其余元素均为0）

方阵的逆A^-1

逆矩阵乘积=单位矩阵

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的 1（其他矩阵乘以它=等于原矩阵）,我们称这种矩阵为单位矩阵。

它是个方阵，一般用 I 或者 E 表示，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为 1 以外全都为 0。如

矩阵的逆：如矩阵 A 是一个 m×m 矩阵（方阵），如果有逆矩阵A^-1，则：

AA^-1 = A^-1 A = I（或E）；

而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。

如果A不存在逆矩阵，那么A称为奇异矩阵。

举例子：

　　2　　4　　　　　 -1　　 1/2　　　　　　　　1　　0

A=　　　　　　A^-1=　　　　　　　　　　A*A^-1=

　　6　　8　　　　　3/4　　-1/4　　　　　　　　0　　1

矩阵A可逆的充要条件是行列式|A|不等于0：

逆矩阵性质

如果矩阵A是可逆的，那么矩阵A的逆矩阵是唯一的。

若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律，即AB=AC => B=C（A^-1 AB=A^-1 AC=>EB=EC）

求逆公式

矩阵公式总结

分块矩阵

矩阵的初等变换

引例

消元法解方程。

注意：下面的消元法，需严格按顺序执行。要注意用于运算的行的值是否已经被改变（前面的步骤）

矩阵的初等变换定义

注意：初等列变换是不同解变换

初等行变换需严格按顺序执行，每次变换后的行会影响后续步骤。要注意用于运算的行的值是否已经被改变（前面的步骤）

用矩阵的初等行变换解方程组

⇒⇒

行阶梯形矩阵

行最简形矩阵

行阶梯形矩阵B₅还称为行最简形矩阵

对于任何矩阵A_mxn,总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形和行最简形。

注：有效方程的个数=行阶梯/最简形矩阵非零行的行数=主元的个数

我们把它称作为秩，用符号r表示

标准形矩阵

行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形.

特点:

F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零。

mxn矩阵A总可经过初等变换化为标准形。

此标准形由 m,n,r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。
所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵。

列变换与行变换的核心区别

行变换对应方程组的操作（如加减方程、缩放方程），保持方程组的解不变。
列变换对应变量的操作（如重新组合变量、缩放变量），会改变变量之间的关系，从而可能改变解的结构。
- 列变换可能改变变量的显式关系，但解空间的维度（即自由变量的个数）由秩决定，保持不变。
- 例如，若原方程组有1个自由变量，经过列变换后自由变量个数仍为1。

性质	行最简形	标准形（如 Smith 标准形）
变换类型	仅初等行变换	初等行变换和列变换
解的表达	直观，直接对应原始变量	变量可能被重新组合或缩放
核心不变量	秩、解空间维度	秩、行列式因子、模结构
应用场景	解线性方程组	矩阵结构分析、模论、编码理论

矩阵等价A~B

等价性的本质

等价类的核心是矩阵的秩和其他不变量（如行列式因子）相同，而非解的具体表达式不变。（列变换会导致对应方程组的解发生变化）

行最简形和标准形属于同一等价类，因为它们的秩和其他不变量相同。

解的具体形式可能因列变换而改变，但解空间的存在性和维度（由秩决定）不变，这是等价性的核心。

标准形的“最简单”体现在矩阵结构的清晰性，而非解的直接可读性。

用矩阵乘法表示初等变换

初等矩阵

初等矩阵的逆

初等变换求逆

初等变换求逆矩阵：

求解矩阵方程：

矩阵的秩

秩：反应矩阵本质不变的量

秩：非零子式的最高阶数

在m*n矩阵A中，任取k行k列，不改变这k²个元素的在A中的次序，得到k阶方阵，称为矩阵A的k阶子式（是行列式）。

m*n阶矩阵A的k阶子式有个（在m行里取k行的情况数量*在n列里取k列的情况数量）

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r

n*n的可逆矩阵，秩为n（因为他可以通过行初等变换为E，E的每一行都不是全为0的）
可逆矩阵又称为满秩矩阵
矩阵的秩等于它行(列)向量组的秩

对于一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义计算矩阵的秩是很麻烦的，容易遗漏子式。
由上例可知行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的行数，一看便知不须计算。
因为对于任何矩阵A_mxn,总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形。
自然想到用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价矩阵的秩是否相等呢?
问题:经过初等变换矩阵的秩变吗?