01-4高等数学-泰勒公式

引言

假设y=10^x，我们很容易计算出特殊点的值，例如x=1时y=10，x=2时，y=100。。。那么x=1.0001时，y=？我们是无法计算出来的。

同理，我们很容易算出sin(π/2)=1，但是sin(0.1)的值又怎么计算呢？

此时就要使用到泰勒公式来估计出近似值。

设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，则Taylor公式为：

f⁽ⁿ⁾(x)表示f(x)的n阶导数

R_n (x)是Taylor公式的余项，是(x-x₀ ) ⁿ的高阶无穷小

注：0！=1

Taylor公式又可写作：

泰勒公式是用一个多项式来近似表示一个函数在某点附近的值。

泰勒公式是微积分中的核心工具。用简单的熟悉的多项式来近似代替复杂的函数。

其核心思想是通过函数的各阶导数信息，构造一个多项式来近似原函数，并估计误差。

Taylor(泰勒)公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，Taylor公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式，近似函数在这一点的邻域中的值。

1. $x_{0}$ ：展开点（Center Point）

定义：泰勒公式的展开点是函数 $f (x)$ 被多项式近似的位置，即在该点附近展开函数。
作用：
- 所有导数 $f^{(n)} (x_{0})$ 在 $x_{0}$ 处计算。
- 多项式中的每一项均以 $(x - x_{0})^{n}$ 的形式表示与展开点的距离。
示例：
- 若 $x_{0} = 0$ ，泰勒公式变为麦克劳林展开式（见下文）。
- 若 $x_{0} = 2$ ，则多项式围绕 $x = 2$ 展开。

2. $x$ ：目标点（Evaluation Point）

定义： $x$ 是需要用泰勒多项式近似计算函数值的位置。
关键条件： $x$ 必须在展开点 $x_{0}$ 附近，且满足收敛条件（如 $∣ x - x_{0} ∣ < R$ ， $R$ 为收敛半径）。
示例：
- 若 $x_{0} = 1$ ，泰勒多项式可近似计算 $x = 1.1$ 或 $x = 0.9$ 处的函数值。
- 若 $x$ 离 $x_{0}$ 太远，近似误差可能显著增大。

3. 泰勒公式的通用形式和余项

其中：

4. $x_{0}$ 与 $x$ 的关系

几何意义：
- 泰勒多项式是函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的“局部近似”，其精度在 $x_{0}$ 附近最高。
- 随着 $∣ x - x_{0} ∣$ 增大，余项 $R_{n} (x)$ 可能迅速增大。
收敛性：
- 泰勒级数的收敛半径 $R$ 决定了 $x$ 的有效范围。例如：
  - 对于 $e^{x}$ （收敛半径 $R = \infty$ ），任何 $x$ 均适用。
  - 对于 $ln (1 + x)$ （收敛半径 $R = 1$ ），需满足 $∣ x - x_{0} ∣ < 1$ 。
实际应用：
- 选择 $x_{0}$ 的策略：
  - 若需近似 $x = a$ 处的函数值，通常选择 $x_{0} = a$ 以简化计算（此时余项为 0）。
  - 若无法直接计算 $x_{0} = a$ ，则选择最接近 $a$ 的已知点 $x_{0}$ 。

总结

 $x_{0}$ ：展开点，决定多项式在何处展开。
 $x$ ：目标点，需在 $x_{0}$ 附近以保证近似精度。
核心关系：泰勒多项式通过 $(x - x_{0})^{n}$ 的加权和，在 $x_{0}$ 附近逼近 $f (x)$ 。选择合适的 $x_{0}$ 是平衡计算复杂度和精度的关键。