HDU 1452 Happy 2004（因子和的积性函数）

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题意 ： 给你一个X，让你求出2004的X次方的所有因子之和，然后对29取余。

思路 ： 原来这就是积性函数，点这里这里这里，这里讲得很详细。

 

在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。　　

在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。

若对于某积性函数 f(n)，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);

如果p是素数 ： s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1)-----其实就是等比数列求和公式 (1)

 

再看本题 ：

计算因子和 s(2004^X) mod 29 ,

2004=2^2 *3 *167

2004^X=4^X * 3^X *167^X

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X))) 而 167%29=22

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据（1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据（1）

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据（1）

%运算法则 

1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p) 乘法的

2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的

s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21

(a*b)/c %M= a%M* b%M  * inv(c)

c*inv(c)=1 %M    模为1的所有数  inv（c）为最小可以被c整除的

inv(2)=15,  inv(21)=18    2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29

s(2004^X)=（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2  *(22^(X+1)-1)/21）mod 29  =（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18）mod29

b^(-1)是 b的逆元素（%p）即上面的inv

2的逆元素是15  ，因为2*15=30 % 29=1 % 29

21的逆元素是18  ，因为21*18=378% 29 =1 % 29

因此

a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;

b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;

c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;

ans=（a*b）% 29*c % 29;

 

 

//1452
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <iostream>

using namespace std ;

int multimod(int a,int n)//乘方模
{
    int res = 1 ;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
        {
            res *= a ;
            res %= 29 ;
        }
        a *= a ;
        a %= 29 ;
        n >>= 1 ;
    }
    return res ;
}
int main()
{
    int x ;
    while(~scanf("%d",&x))
    {
        if(x == 0) break ;
        int a = (multimod(2,2*x+1)-1) ;
        int b = (multimod(3,x+1)-1)*15 ;
        int c = (multimod(167,x+1)-1)*18 ;
        printf("%d\n",(a*b*c)%29) ;
    }
    return 0 ;
}