P4159 [SCOI2009] 迷路
Problem
给一个\(n\)个节点\(m\)条边的带权有向图。求从\(1\to n\)的长度为\(t\)的路径条数。对\(2009\)取模。
\(2 \le n \le 10,1 \le t \le 10^9\)
值得一提的是,此题的输入格式:
说明边权\(\le 9\)。
Solution
Thinking 1
考虑边权都为\(1\)怎么做。
设\(f[t][i][j]\)为长度为\(t\),\(i \to j\)的路径数。
易得:
\[f[t][i][j] = \sum_{k = 1} ^ n f[t - 1][i][k] \cdot f[1][k][j]
\]
这就是矩阵乘法板子。易得\(f[t] = f[1]^t\)
Thinking 2
考虑一条\(u \to v\),长度为\(w\)的边。
可以把它拆成\(w\)条长度为\(1\)的边,然后中间用拆的点表示。
然后变成\(10n \cdot 10n\)的矩阵搞。
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 2009;
int n,t;
struct Matrix
{
int a[105][105];
void init(int x = 0)
{
for(int i = 1; i <= n * 10; i++)
{
for(int j = 1; j <= n * 10; j++)
{
a[i][j] = (i == j) ? x : 0;
}
}
return;
}
}A;
int calc(int i,int j) {return (i - 1) * 10 + j;}
Matrix operator * (const struct Matrix &x,const struct Matrix &y)
{
Matrix ans; ans.init();
for(int i = 1; i <= n * 10; i++)
{
for(int j = 1; j <= n * 10; j++)
{
for(int k = 1; k <= n * 10; k++)
{
ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j]) % mod;
}
}
}
return ans;
}
Matrix qpow(Matrix x,int p)
{
Matrix ans; ans.init(1);
while(p)
{
if(p & 1) ans = ans * x;
p >>= 1;
x = x * x;
}
return ans;
}
int main(void)
{
scanf("%d%d",&n,&t);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= 9; j++)
{
A.a[calc(i,j)][calc(i,j + 1)] = 1;
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
char s[12];
scanf("%s", s + 1);
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
int x = s[j] - '0';
if(!x) continue;
A.a[calc(i,x)][calc(j,1)] = 1;
}
}
Matrix ans = qpow(A,t);
printf("%d\n",ans.a[1][calc(n,1)]);
return 0;
}