【HNOI 2018】排列
Problem
Description
给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \ldots , a_n(0 \le a_i \le n)\)，以及 \(n\) 个整数 \(w_1, w_2, …, w_n\)。称 \(a_1, a_2, \ldots , a_n\) 的一个排列 \(a_{p[1]}, a_{p[2]}, \ldots , a_{p[n]}\) 为 \(a_1, a_2, \ldots , a_n\) 的一个合法排列，当且仅当该排列满足：对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(j \le k\)，那么 \(a_{p[j]}\) 不等于 \(p[k]\)。（换句话说就是：对于任意的 \(k\) 和任意的 \(j\)，如果 \(p[k]\) 等于 \(a_{p[j]}\)，那么 \(k<j\)。）
定义这个合法排列的权值为 \(w_{p[1]} + 2w_{p[2]} + \ldots + nw_{p[n]}\)。你需要求出在所有合法排列中的最大权值。如果不存在合法排列，输出 \(-1\)。
样例解释中给出了合法排列和非法排列的实例。
Input Format
第一行一个整数 \(n\)。
接下来一行 \(n\) 个整数，表示 \(a_1,a_2,\ldots , a_n\)。
接下来一行 \(n\) 个整数，表示 \(w_1,w_2,\ldots ,w_n\)。
Output Format
输出一个整数表示答案。
Sample
Input 1
3
0 1 1
5 7 3
Output 1
32
Input 2
3
2 3 1
1 2 3
Output 2
-1
Input 3
10
6 6 10 1 7 0 0 1 7 7
16 3 10 20 5 14 17 17 16 13
Output 3
809
Explanation
Explanation for Input 1
对于 \(a_1=0,a_2=1,a_3=1\)，其排列有
- \(a_1=0,a_2=1,a_3=1\)，是合法排列，排列的权值是 \(1*5+2*7+3*3=28\)；
- \(a_2=1,a_1=0,a_3=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[2]\)；
- \(a_1=0,a_3=1,a_2=1\)，是合法排列，排列的权值是 \(1*5+2*3+3*7=32\)；
- \(a_3=1,a_1=0,a_2=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[2]\)；
- \(a_2=1,a_3=1,a_1=0\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)；
- \(a_3=1,a_2=1,a_1=0\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)。
因此该题输出最大权值 \(32\)。
Explanation for Input 2
对于 \(a_1=2,a_2=3,a_3=1\)，其排列有：
- \(a_1=2,a_2=3,a_3=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[2]\)；
- \(a_2=3,a_1=2,a_3=1\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)；
- \(a_1=2,a_3=1,a_2=3\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)；
- \(a_3=1,a_1=2,a_2=3\)，是非法排列，因为 \(a_{p[2]}\) 等于 \(p[3]\)；
- \(a_2=3,a_3=1,a_1=2\)，是非法排列，因为 \(a_{p[2]}\) 等于 \(p[3]\)；
- \(a_3=1,a_2=3,a_1=2\)，是非法排列，因为 \(a_{p[1]}\) 等于 \(p[3]\)。
因此该题没有合法排列。
Range
对于前 \(20\%\) 的数据，\(1 \le n \le 10\)；
对于前 \(40\%\) 的数据，\(1 \le n \le 15\)；
对于前 \(60\%\) 的数据，\(1 \le n \le 1000\)；
对于前 \(80\%\) 的数据，\(1 \le n \le 100000\)；
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 500000\)，\(0 \le a_i \le n (1 \le i \le n)\)，\(1 \le w_i \le 10^9\) ，所有 \(w_i\) 的和不超过 \(1.5 \times 10^{13}\)。
Algorithm
并查集
Mentality
这一题的题面很神仙，略难懂。
简而言之，有一棵树，告诉你每个节点的父亲和权值，只有选择了父亲才能选择儿子，如果当前选到的节点是你选的第 \(i\) 个，那么它的贡献为 \(i×\)权值 。问最大的总贡献。必须选完整棵树。
那么数据里不能有环，否则输出 \(-1\) 。
除去无解的情况，我们可以开始想想怎么做了：
首先想到一个很显然的错误贪心，那就是用一个优先队列维护当前能选的所有点，优先选权值最小的，不过这很好卡，若 \(i\) 的权值为 \(1e9\) ，其他所有节点的权值为 \(1e9-1\) ，\(i\) 的子树权值都为 \(1\) 。那这个贪心就死掉了。
但是不打紧，我们可以考虑这样一些东西：对于一个节点 \(i\) ，如果它的权值是最小的，那么当我们选完了 \(fa[i]\) ，我们必定会选择 \(i\) ，也就是说，对于权值最小的 \(i\) ，它一定会在 \(fa[i]\) 之后挨着选择。
所以我们可以考虑将最后答案的选择序列分割为 \(n\) 块，利用这个贪心一块块按顺序合并。
但是，对于两块 \(size>1\) 的序列，我们如何合并它们呢？
假设我已经选到了第 \(i\) 位，之后要按顺序合并 \(a\) 与 \(b\) 两块序列。
设 \(W_i\) 为序列 \(i\) 内元素权值和，\(w_{i_j}\) 代表序列 \(i\) 内第 \(j\) 个元素的权值。
那么如果我们先选 \(a\) 再选 \(b\) ，贡献就会是这样的：
而先选 \(b\) 的话，贡献如下：
则先选 \(a\) 更优，当且仅当 \(size_a*sum_b>size_b*sum_a\) 。
那么贪心策略便彻底确定下来了，我们只需要按证明出的结论的优劣性贪心选择并合并即可。
过程如下：
- 初始化并查集
- 选择堆顶元素，并检查元素是否为所在集合的根
- 合并当前元素与父亲所在集合，并计算对答案的贡献
完毕。
Code
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
int n, cnt, Fa[500001], head[500001], nx[500001], to[500001];
int fa[500001], size[500001];
long long w[500001], ans;
bool vis[500001], flag;
struct node {
int x, size;
long long w;
bool operator<(const node b) const {
return w * b.size > b.w * size;
} //定义比较函数
};
priority_queue<node> q;
int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }
void Push(int x) { q.push(node{x, size[x], w[x]}); }
void Merge(int f, int x) {
ans += 1ll * size[f] * w[x]; //计算贡献
w[f] += w[x];
size[f] += size[x];
} //合并集合
void dfs(int x) {
if (flag) return;
if (vis[x]) flag = 1;
vis[x] = 1, cnt++;
for (int i = head[x]; i; i = nx[i]) dfs(to[i]);
}
int main() {
freopen("4437.in", "r", stdin);
freopen("4437.out", "w", stdout);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &Fa[i]);
nx[i] = head[Fa[i]], to[i] = i;
head[Fa[i]] = i;
}
dfs(0);
if (cnt < n || flag) {
cout << "-1";
return 0;
} //判断不合法情况--环
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lld", &w[i]);
ans += w[i];
fa[i] = i, size[i] = 1;
Push(i);
} //初始化并查集与答案
int x, f;
while (!q.empty()) {
x = q.top().x;
q.pop();
if (x != find(x)) continue; //判断是否为并查集根部元素
x = find(x);
fa[x] = f = find(Fa[x]); //合并
Merge(f, x);
if (f) Push(f); //加入堆内
}
cout << ans;
}
