密码算法详解——AES

0 AES简介

　　我们知道数据加密标准（Data Encryption Standard: DES）的密钥长度是56比特，因此算法的理论安全强度是2⁵⁶。但二十世纪中后期正是计算机飞速发展的阶段，元器件制造工艺的进步使得计算机的处理能力越来越强，DES将不能提供足够的安全性。1997年1月2号，美国国家标准技术研究所（National Institute of Standards and Technology: NIST）宣布希望征集高级加密标准（Advanced Encryption Standard: AES）^[3]，用以取代DES。AES得到了全世界很多密码工作者的响应，先后有很多人提交了自己设计的算法。最终有5个候选算法进入最后一轮：Rijndael，Serpent，Twofish，RC6和MARS，下图分别为其中的5位作者。最终经过安全性分析、软硬件性能评估等严格的步骤，Rijndael算法获胜。

　　Rijndael由比利时两位非常著名的密码学家Joan Daemen和Vincent Rijmen设计。Rijndael是一个分组密码算法族，其分组长度包括128比特、160比特、192比特、224比特、256比特，密钥长度也包括这五种长度，但是最终AES只选取了分组长度为128比特，密钥长度为128比特、192比特和256比特的三个版本。本文主要结合AES-128进行介绍，AES-196和AES-256的思路基本一样，只是密钥扩展算法的过程会稍有不同，加解密的轮数会适当增加，但加解密的操作都是一样的。另外，本文只对AES算法的各个模块、基本原理进行介绍，旨在加深对算法流程、密码算法实现的了解。在正式软件运用中并不推荐自己编写代码，很多开源项目如Linux，OPENSSL，SRTP等都有非常高效的实现。由于数学知识的缺陷，本文不介绍算法安全性分析相关的知识，有兴趣的读者可以自行阅读相关文献。

　　AES是一个分组密码，属于对称密码范畴，AES算法的模块在对称密码领域特别是分组密码领域常有使用。

1 算法流程

　　AES加密算法涉及4种操作：字节替代（SubBytes）、行移位（ShiftRows）、列混淆（MixColumns）和轮密钥加（AddRoundKey）。下图给出了AES加解密的流程，从图中可以看出：1）解密算法的每一步分别对应加密算法的逆操作，2）加解密所有操作的顺序正好是相反的。正是由于这几点（再加上加密算法与解密算法每步的操作互逆）保证了算法的正确性。加解密中每轮的密钥分别由种子密钥经过密钥扩展算法得到。算法中16字节的明文、密文和轮子密钥都以一个4x4的矩阵表示。

1.1 字节替代

　　字节代替的主要功能是通过S盒完成一个字节到另外一个字节的映射。S盒的详细构造方法可以参考文献[4]。这里直接给出构造好的结果，下图(a)为S盒，图(b)为S^-1（S盒的逆）。S盒用于提供密码算法的混淆性。

　　S和S^-1分别为16x16的矩阵，完成一个8比特输入到8比特输出的映射，输入的高4-bit对应的值作为行标，低4-bit对应的值作为列标。假设输入字节的值为a=a₇a₆a₅a₄a₃a₂a₁a₀，则输出值为S[a₇a₆a₅a₄][a₃a₂a₁a₀]，S^-1的变换也同理。

　　例如：字节00000000_B替换后的值为（S[0][0]=）63_H，再通过S^-1即可得到替换前的值，（S^-1 [6][3]=）00_H。

1.2 行移位

　　行移位是一个4x4的矩阵内部字节之间的置换，用于提供算法的扩散性。

　　1) 正向行移位

　　正向行移位用于加密，其原理图如下。其中：第一行保持不变，第二行循环左移8比特，第三行循环左移16比特，第四行循环左移24比特。

　　假设矩阵的名字为state，用公式表示如下：state’[i][j] = state[i][(j+i)%4];其中i、j属于[0,3]。

　　2) 逆向行移位

　　逆向行移位即是相反的操作，即：第一行保持不变，第二行循环右移8比特，第三行循环右移16比特，第四行循环右移24比特。

　　用公式表示如下：state’[i][j] = state[i][(4+j-i)%4];其中i、j属于[0,3]。

1.3 列混淆

　　列混淆：利用GF(2⁸)域上算术特性的一个代替，同样用于提供算法的扩散性。

　　1) 正向列混淆

　　正向列混淆的原理图如下：

　　根据矩阵的乘法可知，在列混淆的过程中，每个字节对应的值只与该列的4个值有关系。此处的乘法和加法都是定义在GF(2⁸)上的，需要注意如下几点：

　　　　1) 将某个字节所对应的值乘以2，其结果就是将该值的二进制位左移一位，如果原始值的最高位为1，则还需要将移位后的结果异或00011011；[1]

　　　　　　英文原文描述如下：In particular, multiplication of a value by x (i.e., by {02}) can be implemented as a 1-bit left shift followed by a conditional bitwise XOR with (0001 1011) if the leftmost bit of the original value (prior to the shift) is 1.

　　　　2) 乘法对加法满足分配率，例如：07·S_0,0=(01⊕02⊕04)·S_0,0= S_0,0⊕(02·S_0,0)(04·S_0,0)

　　　　3) 此处的矩阵乘法与一般意义上矩阵的乘法有所不同，各个值在相加时使用的是模2⁸加法（异或运算）。

　　下面举一个例子，假设某一列的值如下图，运算过程如下：

　　在计算02与C9的乘积时，由于C9对应最左边的比特为1，因此需要将C9左移一位后的值与(0001 1011)求异或。同理可以求出另外几个值。

　　2) 逆向列混淆

　　逆向列混淆的原理图如下：

　　由于：

　　说明两个矩阵互逆，经过一次逆向列混淆后即可恢复原文。

1.4 轮密钥加

　　这个操作相对简单，其依据的原理是“任何数和自身的异或结果为0”。加密过程中，每轮的输入与轮子密钥异或一次；因此，解密时再异或上该轮的轮子密钥即可恢复。

1.5 密钥扩展算法

　　密钥扩展的原理图如下：

　　密钥扩展过程说明：

　　　　1) 将种子密钥按图(a)的格式排列，其中k₀、k₁、……、k₁₅依次表示种子密钥的一个字节；排列后用4个32比特的字表示，分别记为w[0]、w[1]、w[2]、w[3]；

　　　　2) 按照如下方式，依次求解w[j]，其中j是整数并且属于[4,43]；

　　　　3) 若j%4=0,则w[j]=w[j-4]⊕g(w[j-1]),否则w[j]=w[j-4]⊕w[j-1]；

　　函数g的流程说明：

　　　　a) 将w循环左移8比特；

　　　　b) 分别对每个字节做S盒置换；

　　　　c) 与32比特的常量（RC[j/4],0,0,0）进行异或，RC是一个一维数组，其值如下。（RC的值只需要有10个，而此处用了11个，实际上RC[0]在运算中没有用到，增加RC[0]是为了便于程序中用数组表示。由于j的最小取值是4，j/4的最小取值则是1，因此不会产生错误。）

　　　　　　RC = {0x00, 0x01, 0x02, 0x04, 0x08, 0x10, 0x20, 0x40, 0x80, 0x1B, 0x36}

1.6 小结

　　密码算法要求是可逆的，这样解密算法才能正确的恢复明文。拿AES来说，在密钥固定的情况下，明文和密文在整个输入空间是一一对应的。因此算法的各个部件也都是可逆的，再将各个部件的操作顺序设计成可逆的，密文就能正确的解密了。

2 源码

　　自己写了一份AES-128的实现代码，放在Github上；另外一份AES代码实现了3种密钥长度的算法，和标准文档完全保存一致，没有做任何优化，有兴趣可以看看。

　　AES中列混淆部分设计有限域乘法操作，在运行中需要消耗较多的时间。现在的计算平台都拥有丰富的软件资源(RAM、Flash等)，因此AES的软件实现一般都会采用查表的方式，将字节替代、行移位、列混淆合在一起查表，大概消耗8-10K字节的存储空间，但效率非常之高。

　　在硬件上，为了减少实现面积，可以通过对解密的操作进行适当调换，这样解密操作可以复用加密的电路。

3 扩展

SIMD [10]：单指令流多数据流指令，最常用的包括SSE、SSE2、AVX、AVX512 [5] 等，现在很多Intel和AMD的处理器都支持。SIMD操作能够很大地提高效率，一些项目中都有用到，比如libsodium [6]（A modern and easy-to-use crypto library）、FastMemcpy [7] （Speed-up over 50% in average vs traditional memcpy in gcc 4.9 or vc2012 ）、hamming_weight [8] （C library to compute the Hamming weight of arrays）等。

AES-NI [9]：AES硬件指令，能够很快地实现AES加解密，大部分Intel处理器、AMD处理器支持。