hdu5863_dp+矩阵快速幂
题目链接：http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5863
题意：
题目大概说用k个不同的字母，有多少种方法构造出两个长度n最长公共子串长度为m的字符串。
思路
n的规模达到了10亿，而且又是方案数，自然就想到构造矩阵用快速幂解决。
考虑用DP解决可以这么表示状态：
- dp[i][j]表示两个字符串前i个字符都构造好了 并且 它们后面的j个字符相同的方案数
状态的转移就是，末尾j个相同的可以转移到0个相同的也能转移到j+1个相同的（前提是j<m）。
而对于这个状态可以构造矩阵去转移，即一个(m+1)*(m+1)的矩阵，矩阵i行j列表示从末尾i个相同转移到末尾j个相同的方案数，而该矩阵的n次幂的第0行的和就是长度n的字符串末尾各个情况的方案数。
不过样表示状态最后求出来不是要求的，因为LCS小于m的也会包含于其中。那么减去小于m的方案数不就OK了！
- 即 至少包含m个相同公共子串的方案数 - 至少包含m-1个相同公共子串的方案数 = 恰好包含m个相同公共子串的方案数
于是，一样再构造一个m*m的矩阵求n次幂，就OK了。
f[i][j]表示构造好前i个，最后j个相同的方案数
f[i][j]=f[i-1][j-1]*k 【最后一位有k种方案相同】
f[i][0]=sigma(f[i-1][j])*k*(k-1) j=0~m 【倒数第二位相同最后一位不同有k*(k-1)种方案】
1 #include <algorithm> 2 #include <iostream> 3 #include <cstring> 4 #include <cstdlib> 5 #include <cstdio> 6 #include <vector> 7 #include <ctime> 8 #include <queue> 9 #include <list> 10 #include <set> 11 #include <map> 12 using namespace std; 13 #define mod 1000000007 14 typedef long long LL; 15 16 struct Mat{ 17 int m[11][11]; 18 int len; 19 }; 20 Mat mul(Mat a, Mat b){ 21 Mat m; 22 memset(m.m, 0, sizeof(m.m)); 23 m.len=a.len; 24 for(int i=0; i<=m.len; ++i){ 25 for(int j=0; j<=m.len; ++j){ 26 for(int k=0; k<=m.len; ++k){ 27 m.m[i][j]+=(LL)a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod; 28 m.m[i][j]%=mod; 29 } 30 } 31 } 32 return m; 33 } 34 int solve(int n, int m, int k) 35 { 36 Mat res, base; 37 memset(res.m, 0, sizeof(res.m)); 38 memset(base.m, 0, sizeof(base.m)); 39 res.len = m, base.len = m; 40 for(int i = 0; i <= m; i++) 41 res.m[i][i] = 1; 42 for(int i = 0; i <= m; i++) 43 base.m[i][0] = k * k - k; 44 for(int i = 0; i < m; i++) 45 base.m[i][i+1] = k; 46 while(n) 47 { 48 if(n & 1) 49 res = mul(res, base); 50 base = mul(base, base); 51 n >>= 1; 52 } 53 int ans = 0; 54 for(int i = 0; i <= m ; i++){ 55 ans += res.m[0][i]; 56 ans %= mod; 57 } 58 return ans; 59 } 60 int main() 61 { 62 int t,n,m,k; 63 scanf("%d",&t); 64 while(t--){ 65 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 66 int res = solve(n, m, k) - solve(n, m -1, k); 67 res = (res + mod) % mod; 68 printf("%d\n", res); 69 } 70 return 0; 71 }
