x的平方根

力扣----x的平方根算法

题目如下：

思路：

1. 暴力法----一个一个列举
2. 二分法----用零点定理，如果有一个连续的f(x)，且在区间[a, b]里，f(x)=0存在一个实数解，我们就可以在区间[a, b]逐渐逼近实数解

• 首先，f(a) * f(b) < 0；
• 其次，求一个mid = (b - a) / 2；
• 然后，去比较是①f(a) * f(mid) < 0，还是②f(mid) * f(b) < 0；
• 最后，区间缩小，如果是①，区间为[a, mid]，如果是②，区间为[mid, b]；

3. 牛顿迭代法
   构建一个函数f(x) = x^2 - C；然后我们就是在求解一个零点问题
   
   图片为我们展示了我们如何去求解零点

我们需要给定一个初始点x0，然后用这个初始点去逼近零点，这里的计算全是有小数的；我们的条件有两个f(x) = x^2 - C; f'(x) = 2*x;
接下来就是把经过初始点的切线求出来，切线：y = kx + b; 利用(x0, f(x0))
k = 2*X0
b = f(x0) - 2*(x0)*(x0)
y = 2*(x0)*x + f(x0) - 2*(x0)^2
另切线y = 0;
0 = 2*(x0)*(x1) + f(x0) - 2*(x0)^2
x1 = x0 - f(x0) / 2*x0;
x1 = x0 - ((x0)^2 - C) / 2*x0;
x1 = x0 - (x0 - C / x0) / 2;
......
推广至n
xn+1 = xn - (xn - C / xn) / 2;

其他的f(x),xn+1 =xn - f(xn)/ f'(xn);

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        // 牛顿迭代法
        if (0 == x)  return 0;
        double x0 = x / 2.0;
        double xt;
        while (true) {
            xt = x0 - (x0 - (double(x) / x0)) / 2.0;
            if (abs(xt - x0) < 1.0e-10)  //前后两次计算的差距小于1 * 10^-10
                return xt;
            x0 = xt;
        }
        //二分法
        // if (0 == x) return 0;
        // int left = 1;
        // int right = x;
        // int mid = (left + right) / 2;
        // while(left + 1 < right) {
        //     int y_left = left * left - x;
        //     int y_right = right * right - x;
        //     int y_mid = mid * mid - x;
        //     //y_left * y_mid < 0
        //     if ((y_left > 0 && y_mid < 0) || (y_left < 0 && y_mid > 0)) right = mid;
        //     //y_right * y_mid < 0
        //     else if ((y_right > 0 && y_mid < 0) || (y_right < 0 && y_mid > 0)) left = mid;
        //     else if (y_right * y_mid == 0 || y_left* y_mid == 0) return mid;
        //     mid = (left + right) / 2;
        // }
        // return left;

    //暴力法
    //     if (0 == x) return 0;
    //     for (int n = 1; n < x; n++) {
    //         if (n*n < x) continue;
    //         else if (n*n > x) return n - 1;
    //         else if (n*n == x) return n; 
    //     }
    //     return 1;
    }
};