二分图的最大匹配 匈牙利算法
转自：http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html Renfei Song
写的非常详细，清晰。
这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 UU 和VV ，使得每一条边都分别连接UU、VV中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
定理补充：
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
模板1：
intn1, n2, m, ans;
int result[101];//记录V2中的点匹配的点的编号
bool state[101];//记录V2中的每个点是否被搜索过
bool data[101][101];//邻接矩阵true代表有边相连
void init()
{
int t1, t2;
memset(data, 0, sizeof(data));
memset(result, 0, sizeof(result));
ans = 0;
scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
scanf("%d%d", &t1, &t2);
data[t1][t2] = true;
}
return;
}
bool find(inta)
{
for(int i = 1; i <= n2; i++)
{
if(data[a][i] == 1 && !state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过
{
state[i] = true; //标记i为已查找过
if(result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中
|| find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路
{
result[i] = a; //记录查找成功记录
result[a] = i;
returntrue;//返回查找成功
}
}
}
return false;
}
int main()
{
init();
for(int i = 1; i <= n1; i++)
{
memset(state, 0, sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记
if(find(i))
{
ans++; //从节点i尝试扩展
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}模板2：
模板二： Hopcroft-Carp算法
这个算法比匈牙利算法的时间复杂度要小，大数据可以采用这个算法
/* *********************************************
二分图匹配（Hopcroft-Carp的算法）。
初始化：g[][]邻接矩阵
调用：res=MaxMatch(); Nx,Ny要初始化！！！
时间复杂大为 O(V^0.5 E)
适用于数据较大的二分匹配
需要ｑｕｅｕｅ头文件
********************************************** */
const int MAXN=3000;
const int INF=1<<28;
int g[MAXN][MAXN],Mx[MAXN],My[MAXN],Nx,Ny;
int dx[MAXN],dy[MAXN],dis;
bool vst[MAXN];
bool searchP()
{
queue<int>Q;
dis=INF;
memset(dx,-1,sizeof(dx));
memset(dy,-1,sizeof(dy));
for(int i=0;i<Nx;i++)
if(Mx[i]==-1)
{
Q.push(i);
dx[i]=0;
}
while(!Q.empty())
{
int u=Q.front();
Q.pop();
if(dx[u]>dis) break;
for(int v=0;v<Ny;v++)
if(g[u][v]&&dy[v]==-1)
{
dy[v]=dx[u]+1;
if(My[v]==-1) dis=dy[v];
else
{
dx[My[v]]=dy[v]+1;
Q.push(My[v]);
}
}
}
return dis!=INF;
}
bool DFS(int u)
{
for(int v=0;v<Ny;v++)
if(!vst[v]&&g[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1)
{
vst[v]=1;
if(My[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue;
if(My[v]==-1||DFS(My[v]))
{
My[v]=u;
Mx[u]=v;
return 1;
}
}
return 0;
}
int MaxMatch()
{
int res=0;
memset(Mx,-1,sizeof(Mx));
memset(My,-1,sizeof(My));
while(searchP())
{
memset(vst,0,sizeof(vst));
for(int i=0;i<Nx;i++)
if(Mx[i]==-1&&DFS(i)) res++;
}
return res;
}模板3：
//************************************************
HDU 1054
用STL中的vector建立邻接表实现匈牙利算法
效率比较高
const int MAXN=1505;//这个值要超过两边个数的较大者，因为有linker
int linker[MAXN];
bool used[MAXN];
vector<int>map[MAXN];
int uN;
bool dfs(int u)
{
for(int i=0;i<map[u].size();i++)
{
if(!used[map[u][i]])
{
used[map[u][i]]=true;
if(linker[map[u][i]]==-1||dfs(linker[map[u][i]]))
{
linker[map[u][i]]=u;
return true;
}
}
}
return false;
}
inthungary()
{
int u;
int res=0;
memset(linker,-1,sizeof(linker));
for(u=0;u<uN;u++)
{
memset(used,false,sizeof(used));
if(dfs(u)) res++;
}
return res;
}
//*****************************************************
int main()
{
int u,k,v;
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=0;i<MAXN;i++)
map[i].clear();
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d:(%d)",&u,&k);
while(k--)
{
scanf("%d",&v);
map[u].push_back(v);
map[v].push_back(u);
}
}
uN=n;
printf("%d\n",hungary()/2);
}
return 0;
}
