ARC108 游记
ARC108 游记
继续没脸见人
果然这就是罚时吃到饱。/kk
F 好像比 E 要简单。
D - AB
题意简述
给定 \(n\) 和四个字符 \(c_{AA},c_{AB},c_{BA},c_{BB}\) ，并且 \(c_{AA},c_{AB},c_{BA},c_{BB}\in \{A,B\}\) 。
一开始你有一个长度为 \(2\) 的字符串 AB ，每次操作你都可以选择两个相邻字符 \(c_l,c_r\) ，并在它们之间插入字符 \(c_{c_lc_r}\) ，询问你最终可以得到多少种长度为 \(n\) 的本质不同的字符串。
\(2\le n\le 1000\) 。
题目分析
分类讨论，一开始肯定是在 AB 间插入 \(c_{AB}\) ， \(c_{AB}=A\) 和 \(c_{AB}=B\) 的情况没有什么区别，不妨假设 \(c_{AB}=A\) 。
此时字符串会变成 AAAA...AAB ，如果 \(c_{AA}=A\) ，那么最终只能变成 AAA...AAAB ，答案就是 \(1\) ，否则 \(c_{AA}=B\) ，此时可以选择在 AA 之间插入 B 变成 ABA ，如果 \(c_{BA}=A\) ，说明在最终情况中不能出现 B 相邻的情况，并且第一个字符和倒数第二个字符必须是 A ，最后一个字符必须是 B ，答案也就是 \(\sum_{i\ge 0}{n-3-(i-1)\choose i}\) ，也就是斐波那契数列的第 \(n-3\) 项，矩乘优化到一个 \(\log_2\)，否则如果 \(c_{BA}=B\) ，说明在最终情况中可以出现 B 相邻的情况，答案也就是 \(2^{n-3}\) 。
总的复杂度是 \(\mathcal O(\log_2n)\) 。
参考代码
赛时代码，当时写的不是最优复杂度，仅供参考。
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=1005,mod=1000000007;
int mo(const int x){
return x>=mod?x-mod:x;
}
int fac[maxn],iac[maxn];
int binom(int n,int m){
return 1ll*iac[m]*iac[n-m]%mod*fac[n]%mod;
}
char caa[5],cab[5],cba[5],cbb[5];
int main(){
int n;read(n);if(n==2)return puts("1"),0;fac[0]=fac[1]=iac[0]=iac[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)iac[i]=1ll*(mod-mod/i)*iac[mod%i]%mod;
for(int i=2;i<=n;++i)iac[i]=1ll*iac[i-1]*iac[i]%mod,fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
scanf("%s%s%s%s",caa,cab,cba,cbb);int ans=0;
if(cab[0]=='A'){
if(caa[0]=='A')ans=1;
else{
if(cba[0]=='A'){
ans=1;
for(int i=1;n-3-(i-1)>=i;++i)
ans=mo(ans+binom(n-3-(i-1),i));
}
else{
for(int i=0;i<=n-3;++i)
ans=mo(ans+binom(n-3,i));
}
}
}
else{
if(cbb[0]=='B')ans=1;
else{
if(cba[0]=='B'){
ans=1;
for(int i=1;n-3-(i-1)>=i;++i)
ans=mo(ans+binom(n-3-(i-1),i));
}
else{
for(int i=0;i<=n-3;++i)
ans=mo(ans+binom(n-3,i));
}
}
}
write(ans),pc('\n');
return 0;
}
E Random IS
题意简述
定义大小为 \(n\) 的排列 \(a\) 的一个子序列 \(b\) 是好的当且仅当 \(b\) 递增，对于 \(a\) 的子序列 \(b\) 而言，定义一个数 \(i\) 是好的当且仅当 \(a_i\) 加入 \(b\) 后 \(b\) 仍然递增，现在给定 \(n\) 和排列 \(a\) ，你有一个 \(a\) 的子序列 \(b\) ，初始为空，每次操作你会在所有好的数中选择等概率随机一个好的数 \(i\) 并将 \(a_i\) 加入 \(b\) ，询问期望操作次数。
\(1\le n\le 2000\) 。
题目分析
简单期望题，但是自己赛时由于太蠢没有想出来。
题目等价于随机一个排列 \(p\) ，然后从前往后加数，如果可以加就加，问期望加入了多少个数。
如果当前考虑的是一段区间 \((l,r)\) ，如果选择了 \(s\) ，那么 \(s\) 就会将其分成两个区间 \((l,s),(s,r)\) ，并且在这两个区间中选数是互不影响的，所以可以认为是先在 \((l,s)\) 中随机排列然后选数，然后再在 \((s,r)\) 中随机排列然后选数，所以它们的期望值是可以直接加起来的。
设 \(dp(l,r)\) 表示仅考虑区间 \((l,r)\) 并且选择了 \(l\) 和 \(r\) 答案的期望，设可选的数为 \(s_1,\dots,s_k\) ，那么转移就是：
考虑一个数 \(s\) 可选当且仅当 \(l< s< r,a_l< a_s< a_r\) ，显然可以使用数据结构优化，时间复杂度 \(\mathcal O(n^2\log_2n)\) 。
参考代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=2005,mod=1000000007;int n;
int mo(const int x){
return x>=mod?x-mod:x;
}
void change(int*tr,int pos,int val){
while(pos<=n){
tr[pos]=mo(tr[pos]+val);
pos+=pos&(-pos);
}
}
int query(int*tr,int pos){
int re=0;
while(pos){
re=mo(re+tr[pos]);
pos^=pos&(-pos);
}
return re;
}
int tr0[maxn][maxn],tr1[maxn][maxn],sum[maxn][maxn],dp[maxn],a[maxn],inv[maxn];
int main(){
read(n);++n;
for(int i=2;i<=n;++i)read(a[i]),++a[i];
a[1]=1;++n;a[n]=n;inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(int len=1;len<n;++len){
for(int l=1,r=l+len;r<=n;++l,++r){
if(a[r]<a[l])continue;int cnt=query(sum[l],a[r]);
if(cnt>0){
dp[l]=mo(1+1ll*mo(query(tr0[l],a[r])+query(tr1[r],n-a[l]+1))*inv[cnt]%mod);
change(tr0[l],a[r],dp[l]);change(tr1[r],n-a[l]+1,dp[l]);
}
change(sum[l],a[r],1);
}
}
write(dp[1]),pc('\n');
return 0;
}
F Paint Tree
题意简述
给定一棵 \(n\) 个点的数，每个点可能染成黑色也可能染成白色，定义一种染色方案的权值为 所有黑色点中距离最远的两个点的距离 和 所有白色点中距离最远的两个点的距离 的最大值，询问所有可能染色方案的权值之和。
\(2\le n\le 2\times 10^5\) 。
题目分析
答案等于枚举 \(i\ge 1\) ，然后最远距离大于等于 \(i\) 的方案数之和，大于等于不太好求，考虑求小于等于。
首先找到直径，设直径的两个端点为 \(S\) 和 \(T\) ，如果 \(S\) 和 \(T\) 颜色相同，那么最远距离就是 \(S\) 到 \(T\) 的距离，假设 \(S\) 和 \(T\) 颜色不同， \(S\) 白 \(T\) 黑，那么白色点的所有最远距离中一定存在一个最远距离的端点是 \(S\) ，如果需要满足最远距离小于等于 \(i\) ，那么所有白色点到 \(S\) 的距离就要小于等于 \(i\) ，同理所有黑色点到 \(T\) 的距离也要小于等于 \(i\) ，如果一个点 到 \(S\) 的距离 和 到 \(T\) 的距离 都小于等于 \(i\) ，那么这个点可黑可白，否则这个点颜色确定，如果一个点 到 \(S\) 的距离 并且 到 \(T\) 的距离 都大于 \(i\) ，说明这种情况根本不存在。
求有多少点可黑可白只需要 dfs 后一遍前缀和就行了，时间复杂度是 \(\mathcal O(n)\) 的。
参考代码
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ch() getchar()
#define pc(x) putchar(x)
template<typename T>inline void read(T&x){
int f;char c;
for(f=1,c=ch();c<'0'||c>'9';c=ch())if(c=='-')f=-f;
for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=ch())x=x*10+(c&15);x*=f;
}
template<typename T>inline void write(T x){
static char q[64];int cnt=0;
if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;
while(x)q[cnt++]=x%10+'0',x/=10;
while(cnt--)pc(q[cnt]);
}
const int maxn=200005,mod=1000000007;
int mo(const int x){
return x>=mod?x-mod:x;
}
struct Edge{
int v,nt;
Edge(int v=0,int nt=0):
v(v),nt(nt){}
}e[maxn*2];
int hd[maxn],num;
void qwq(int u,int v){
e[++num]=Edge(v,hd[u]),hd[u]=num;
}
int dp[maxn];
int dfs(int u,int fa){
int re=u;dp[u]=dp[fa]+1;
for(int i=hd[u];i;i=e[i].nt){
int v=e[i].v;
if(v==fa)continue;
int te=dfs(v,u);
if(dp[te]>dp[re])
re=te;
}
return re;
}
int cnt[maxn],_2[maxn],ds[maxn],dt[maxn];
int main(){
int n;read(n);_2[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)_2[i]=mo(_2[i-1]<<1);
for(int i=1;i<n;++i){
int u,v;
read(u),read(v);
qwq(u,v),qwq(v,u);
}
int S=dfs(1,0),T=dfs(S,0),n2=1;
for(int i=1;i<=n;++i)ds[i]=dp[i]-1;dfs(T,0);
for(int i=1;i<=n;++i)dt[i]=dp[i]-1;int mx=0;
for(int i=1;i<=n;++i)++cnt[max(ds[i],dt[i])],mx=max(mx,min(ds[i],dt[i]));
for(int i=1;i<n;++i)cnt[i]+=cnt[i-1];int ans=0;
for(int i=0;i<mx;++i)ans=mo(ans+_2[n]);
for(int i=mx;i<dt[S];++i)ans=mo(ans+mo(mod-mo(_2[cnt[i]]<<1)+_2[n]));
write(ans),pc('\n');
return 0;
}
