Codeforces Round #505 (rated, Div. 1 + Div. 2, based on VK Cup 2018 Final) D. Recovering BST (dp,二叉搜索树)

• 题意:给你\(n\)个升序的点,问你是否能构造一颗二叉搜索树,且每个儿子节点和父节点的\(gcd>1\).

• 题解:首先可以预处理每两个点之间的\(gcd\),我们先考虑暴力的写法,设\(dp[l][r][k]\)表示区间\([l,r]\)以\(k\)为根节点是否合法,那么如果\(dp[l][r]k]\)要合法的话,其左儿子\(dp[l][k-1][k_1]\),和右儿子\(dp[k+1][r][k_2]\)合法即可,那么我们要在区间dp\(O(n^3)\)的基础上再跑一个循环,复杂度为\(O(n^4)\),空间时间双双爆表.

  这里就要用到二叉搜索树的一个性质,因为它的左儿子比父亲小,右儿子比父亲大,所以中序遍历得到的点权一定是升序的.那么假如一个父亲的左子树的区间为\([l,r]\),那么父亲节点一定为\(r+1\),如果是右子树的话,就是\(l-1\).

  设\(L[i][k]\)表示以\(k\)为根,区间\([i,k-1]\)做左子树是否合法,\(R[k][j]\)表示以\(k\)为根,区间\([k+1,r]\)做右子树是否合法.如果以\(k\)为根,且它的左右子树均合法的话,我们就可以利用上述性质,当前区间\([i,j]\)可以就可以作为以\(i-1\)为根的右子树,以\(j+1\)为根的左子树,这样就完成转移了.

• 代码:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
   
  int n;
  int a[N];
  int g[705][705];
  int L[705][705],R[705][705];
   
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  	cin>>n;
  	rep(i,1,n) cin>>a[i],L[i][i]=R[i][i]=1;
   
  	rep(i,1,n){
  		rep(j,1,n){
  			if(gcd(a[i],a[j])!=1){
  				g[i][j]=g[j][i]=1;
  			}
  		}
  	}
   
  	for(int len=0;len<n;++len){
  		for(int i=1;i+len<=n;++i){
  			int j=i+len;
  			for(int k=i;k<=j;++k){
  				if((L[i][k]) && (R[k][j])){
  					if(i==1 && j==n){
  						cout<<"Yes\n";
  						return 0;
  					}
  					if(g[i-1][k]) R[i-1][j]=1;
  					if(g[k][j+1]) L[i][j+1]=1;
  				}
  			}
  		}
  	}
   
  	cout<<"No\n";
   
      return 0;
  }