Codeforces Round #716 (Div. 2) C. Product 1 Modulo N (数论,良心证明)

• 题意:有一个\([1,2,...,n-1\)]的序列,要你构造出一个子序列,使得子序列的所有元素的乘积%\(n\)=1.

• 题解:首先我们构造出的子序列的乘积一定是\(k*n+1\),这个值一定和\(n\)互质.

  证明:设\(gcd(k*n+1,n)=d\),那么\(d|k*n\),\(d|n\),\(d|1\),而整除\(1\)的数只能是\(1\),所以\(d=1\).

  所以我们可以找出所有与\(n\)互质的数并求积,得到\(prod\),那么\(prod\)%\(n\)一定与\(n\)互质.

  证明:假设余数为\(x\),那么\(prod\)=\(k*n+x\),即:\(k*n+x\)与\(n\)互质,而\(n|k*n\),所以\(x\)一定与\(n\)互质.

  如果\(x=1\),那么\(prod\)就是答案.

  否则,因为\(x<n\),所以这个余数\(x\)一定是\([1,n-1]\)中的一个质数,我们将它除去即可得到余数为\(1\).

• 代码:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
   
   
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  	ll n;
  	cin>>n;
  	vector<ll> ans;
  	ll d=1;
   
  	for(ll i=1;i<=n-1;++i){
  		if(gcd(i,n)==1){
  			ans.pb(i);
  			d=(d*i)%n;
  		}
  	}
   
  	if(d==1){
  		cout<<(int)ans.size()<<'\n';
  		for(auto w:ans) cout<<w<<' ';
  		return 0;
  	}
   
  	cout<<(int)ans.size()-1<<'\n';
  	for(auto w:ans){
  		if(w==d) continue;
  		cout<<w<<' ';
  	}
   
      return 0;
  }