第二章实践

1.实践题目名称：7-1 最大子列和问题

2.问题描述

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

1. 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
2. 数据2：102个随机整数；
3. 数据3：103个随机整数；
4. 数据4：104个随机整数；
5. 数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

3、算法描述

利用分治法思想。对最大子列和从暴力算法进行优化，将区间从中间一分为二，将问题划分为求左区间、右区间、横跨左右区间的最大子列和问题。其中左右区间可以通过递归完成，中间的最大子列和要另外处理。从而使时间复杂度为nlog(n)；

4、代码

#include<iostream>
using namespace std;
int Num[1000009] , N;

int Sum(int left , int r )
{//序列仅含一个元素 
     if(left == r){
　　　　　　if(Num[left]<0)
　　　　　　　　return 0;
　　　　　　else
    　　　　　　return Num[left];

//划分
     int m = (left + r) / 2;
     int la = Sum(left , m);
     int ra = Sum(m + 1 , r) ;
     //跨区域
     int sum = 0 , lm = Num[m] , rm = Num[m + 1];
     for(int i = m ; i >= left ; i--){
          sum += Num[i];
  
          if(sum > lm)
          lm = sum;
     } 
 
     sum = 0;
 
     for(int i = m + 1 ; i <= r ; i++){
          sum += Num[i];
          if(sum > rm)
          rm = sum;
     }
 
     int an = lm + rm;
 
     if(la > an)
         an = la;
 
     if(ra > an)
         an = ra;
 
     return an;
}

int main()
{
     cin>>N;
 
     for(int k = 1 ; k <= N ; k++)
          cin >> Num[k];
  
     cout << Sum(1 , N);
 
     return 0;
}                                          

在解决这个问题中，遇到的最大问题是如何求跨中间区域的最大子段和问题，这部分相对比较难，修改过几次，求出来的答案老是不对。另外，在提交代码后其实还发现pta上对于如果是只有一个且为负数这个点没有对应测试点。另一点，在编程时发现l和1在代码块中基本一模一样，导致很多时候很难读出是l还是1，从而导致代码可读性差，所以要尽量避免使用l。

再对该问题进行优化，可得时间复杂度为O(n)的算法

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a[10000];
    
    int n ,t,sum = 0;
    int max = 0,b = 0;
    cin>>n;
    
    for(int i = 0;i<n;i++)
        cin>>a[i];
        
    for(int i = 1;i<=n;i++)
    {
        for(t = i;t<=n;t++)
        {
            b += a[t];
            if(max < b)
                max = b;
        }b = 0;        
    }
    cout <<max;
    
    return 0;
}

该代码是对分治法思想的进一步优化，从而实现时间复杂度为O（n）。

5、时间复杂度分析

上面两个不同方法的时间复杂度不同，采用分治法将问题一分为二，每一段进行加法比较，根据分析，求得时间复杂度为nlog(n)，对于第二种算法，只需要一重循环搞定，从而时间复杂度为O(n).

6、心得收获

分治法思想在解决大型复杂有一定规律的题型有很多益处，能够将问题化繁为减，提高了一定的时间效率。 今后在解决这类问题时可以往这个思想上靠。