矩阵树

证明

无向图

给定一个无向图，有重边无自环，\(A\)为其邻接矩阵，\(D\)为其度数矩阵。

其基尔霍夫矩阵为\(D-A\)。

\(\det(K')\)即为该无向图生成树数量，其中\(K'\)为任意一个\(n-1\)阶余子式。

有向图

给定一个无向图，有重边无自环，\(A\)为其邻接矩阵，\(D_{in}\)为其入度矩阵，\(D_{out}\)为其出度矩阵。

若为外向树\(K=D_{in}-A\)，若为内向树\(K=D_{out}-A\)。

以\(r\)为根的树的个数为\(\det(K')\)，\(K'\)为\((r,r)\)的余子式。