一道高联题

题目由可爱的myz同学提供~

题面

\[\large{\mathbf{求方程}\quad2^p=2^{q-2}+q!\quad\mathbf{的解，其中}\ p,q\ \mathbf{均为素数。}} \]

解答

显然有 \(p>q-2\) 从而有 \(2^{q-2}\|q!\) 。
于是有

\[\sum_{i=1}^{+\infin}\left\lfloor\frac{q}{2^i}\right\rfloor=q-2 \]

在二进制的角度下考虑它，会发现它一定是 \(2^m+2^n\quad(m\neq n)\) 的形式，
而注意到 \(q\) 是一个素数，我们就可以确定 \(q\) 形如 \(2^k+1\quad(k\in \mathbb Z^+)\) 。

设 \(k=2^l\cdot r\) ，其中 \(l\in\mathbb N\) 且 \(r\) 为奇数。
有 \(\left.2^{2^l}+1\ \right|\ 2^k+1\quad\therefore r=1\) .
\(\therefore q=2^{2^l}+1\equiv2\pmod 3\).
\(\therefore \left.3\right|q-2\).

考虑 \(\frac{q!}{2^{q-2}}=2^{p-(q-2)}-1\):
有 \(q\ge9\) 时，\(\left.2^3+1\right|2^{p-(q-2)}-1\).
可以证明 \(\left.3\right|p-(q-2)\).
又\(\because p-(q-2)>0,q\ge9\),
\(\therefore \left.3\right|p\) 且 \(p>3\).
于是 \(p\) 不是素数，矛盾.

从而 \(q<9\),枚举得到 \((p,q)=(3,3)\) 或 \((7,5)\).