【洛谷】「SvR-1」Five of Pentacles 题解

赛时的时候在期末复习，就没做。

期末考完来看的时候我的内心OS如下：

这不是求个最大不下降子序列就好了吗？这么简单也能评蓝？

然后看到 \(n,m,k\le 2e6\) 的时候我凝固了。

好毒瘤一题

---

正文

我们来看一下题目啊(传送门)

题目要求最小的越过障碍数，那么我们很容能够想到两点：

• 如果没有障碍消失，那么最终越过障碍数就是 \(n+m-1\) 。
• 我们每走过一个消失的障碍，最终越过的障碍数就减少 \(1\) 。

结合这两点我们希望越过尽可能多的消失的障碍。

而越过的障碍，我们用题目中的 \((t_i,x_i)\) 来表示我们在时间 \(t_i\) 越过了障碍 \(x_i\) 。

不难发现根据 \(d\ge 0\) 有 \(\forall t_i<t_j,x_i\le x_j\) ，于是题目顺利地被转化为求一个最大不下降子序列的。

然而，求解最大不下降子序列的通常复杂度是 \(O(n\log n)\) 的，这就提示我们去发掘题目中的条件。

这题毒瘤之处就在于所有的秘密都被隐藏在了输入格式中

接下来 \(k\) 行，其中第 \(i\) 行有两个数字 \(t_i, p\) 。其中 \(p\) 用于生成 \(x_i\) ，即：\(x_i = \min(x_{i - 1} + p \oplus (lastans \bmod 15) + 1, m)\) 其中 \(lastans\) 表示上次变化的答案。
特别地，第一次变化之前 \(lastans = 0\) , \(x_0 = 0\)，且当 \(x_{i - 1} = m\) 时，将 \(x_{i - 1}\) 视作 \(0\)（注意这不会真的改变 \(x_{i - 1}\) 的值）。

同时我们有 \(p\le 15\) , \((lastans \bmod 15) \le15\)， 从而 \(p \oplus (lastans \bmod 15) + 1 \le 16\)

那么我们会发现我们得到的 \(\left\{ x_i\right\}\) 序列是若干个长度不小于 \(\frac{m}{\max\{p\}}\) 的严格单调增序列拼接而成的，且每一个的结尾都是 \(m\) 。

利用这个“严格单调增”的性质，我们可以用数组 \(a[i]\) 来记录以 \(i\) 为开头的最大不下降子序列的后缀最大值（因为 \(t_i\) 是按照单调减的顺序给出的）从而只需要在处理完其中某一严格单调增序列 \(x_i,x_{i+1}\cdots,x_j\) 时再更新每一个 \(a[i]\) 的值，在处理该序列过程中只需要依次更新 \(a[x_i],a[x_{i+1}]\cdots,a[x_j]\) 的值，因为前面的值改变并不影响后面的值。

记最大跨过的消失的障碍数为 \(ans\)。

按照 \(t_i\) 相同为一组来处理。设 \(t\) 时的 \(x\) 值依次为 \(x'_1,x'_2\cdots,x'_{tot}\)

那么我们发现当 \(x'_i\) 的变化出现的时候，包含 \(x'_i\) 的最大不下降子序列为 \(a[x'_i]\) 所代表的最大不下降序列前接上 \(x'_1,x'_2\cdots,x'_{i}\) ，用这个去更新 \(ans\) 即可。

处理完之后我们再用下面的 DP 柿子倒序更新 \(a[x'_1],a[x'_2]\cdots,a[x'_{tot}]\) :

\[a[x'_i]=\max\{a[x'_{i}],a[x'_{i+1}]\}+1 \]

然后就做完了。主要的复杂度在更新一整个 \(a[i]\) 数组，总复杂度为 \(O(m\cdot \frac{m}{\frac{m}{\max\{p\}}})=O(m\cdot max\{p\})\)

注意一下在线格式的细节就好了，怕TLE就用上快读。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 2000000
using namespace std;

//快读
#define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
template <typename T>
inline void read(T& r) {
	r=0;bool w=0; char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') w=ch=='-'?1:0,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') r=r*10+(ch^48), ch=getchar();
	r=w?-r:r;
}

int a[MAXN+5],tot,stk[MAXN+5],x[MAXN+5],now;
//stk是t时间下的p序列，x是解密以后的x序列


int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    int n,m,k,t,ans=0,p,lst=0,lstans=0;
    read(n);read(m);read(k);
    read(t);read(p);
    stk[++tot]=p;
    now=t;
    for (int i=1;i<=k;++i) {
        if (i==k) t=p=0;
        else read(t),read(p);
        if (t==now) {
            stk[++tot]=p;
        } else {
            //依次更新并输出答案
            for (int j=1;j<=tot;++j) {
                lst=min(lst+(stk[j]^(lstans%15))+1,m);
                x[j]=lst;
                ans=max(ans,a[lst]+j);
                cout<<n+m-ans-1<<"\n";
                lstans=n+m-ans-1;
            }
            //更新a数组
            ++a[x[tot]];
            for (int j=tot-1;j>=1;--j) a[x[j]]=max(a[x[j+1]],a[x[j]])+1;
            //在处理完后把下一个p放入skt
            stk[tot=1]=p;
            now=t;
            if (lst==m) {
                for (int j=m-1;j>=1;--j) a[j]=max(a[j+1],a[j]);
                lst=0;
            }
        }
    }
    return 0;
}