题解：AT_abc346_d [ABC346D] Gomamayo Sequence

思路

一眼 $\tt dp$。（虽然听说前缀和也能做？）

我们设 $f_{i,0/1}$ 表示 $i$ 和 $i+1$ 位置都变为 $0/1$。

如果我们枚举 $i$，再去推，显然会超时。

不如看一组样例：

01011101

如果我们把 $3$ 和 $4$ 位置都变为 $0$，这样会：

01001010

如果把 $4$ 和 $5$ 位置都变为 $1$，发现：

01011010

会发现只有 $4$ 位置发生了变化。

同理，如果我们把 $3$ 和 $4$ 位置都变为 $1$，把 $4$ 和 $5$ 位置都变为 $0$，都满足这个定律。

推广后，发现在整个序列都满足该定律，即改变 $i-1$ 和 $i$ 位置为 $0$ 到改变 $i+1$ 和 $i$ 位置为 $1$ 只需要改变 $i$ 位置的代价。把 $0$ 和 $1$ 交换同理。

这样，我们只需要算出把 $1$ 和 $2$ 位置改变的代价，就可以 $\operatorname{O}(n)$ 的时间复杂度推出来了。

转移方程：

• 若 $s_i=0$，则 $f_{i,0}=f_{i-1,1}-c_i$，$f_{i,1}=f_{i-1,0}+c_i$；
• 若 $s_i=1$，则 $f_{i,0}=f_{i-1,1}+c_i$，$f_{i,1}=f_{i-1,0}-c_i$；

就结束了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f[200005][2];
int n,c[200005],a[200005],a1[200005],a0[200005];
string s;
int main(){
	cin>>n>>s;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];
	for(int i=0;i<s.length();i++){
		a[i+1]=s[i]-'0';
	}
	a0[1]=0;a0[2]=0;
	a1[1]=1;a1[2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++){
		if(a0[i-1]==0)a0[i]=1;
		else a0[i]=0;
		if(a1[i-1]==1)a1[i]=0;
		else a1[i]=1;
	}
	long long sum0=0,sum1=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a0[i]!=a[i])sum0+=c[i];
		if(a1[i]!=a[i])sum1+=c[i];
	}
	f[1][0]=sum0,f[1][1]=sum1;
	for(int i=2;i<n;i++){
		f[i][1]=f[i-1][0];
		f[i][0]=f[i-1][1];
		if(a[i]==0){
			f[i][1]+=c[i];
			f[i][0]-=c[i];
		}
		else{
			f[i][1]-=c[i];
			f[i][0]+=c[i];
		}
	}
	long long ans=9223372036854775807;
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(f[i][1]<ans)ans=f[i][1];
		if(f[i][0]<ans)ans=f[i][0];
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}