题解：P11187 配对序列

大家好，我非常喜欢线段树优化 dp，于是我使用线段树优化 dp 通过了这道题目。

前排提醒：本题解做法时间复杂度带一只 $\log$，如果想要学习 $\operatorname{O}(n)$ 做法请自行略过。

Solution P11187

Idea

不难发现配对序列就是形如 $\{a,a,b,b,c,c,d,d,\cdots\}$ 的序列。

我们设 $dp_{i,0/1}$ 为当前最后一个数为 $i$，这个数出现在第奇数个位置（表示为 $0$）还是在第偶数个位置（表示为 $1$）的最长配对序列的长度。

显然有：$dp_{i,1}=dp_{i,0}+1$，$dp_{i,0}=\max\{dp_{1,1},dp_{2,1},\cdots,dp_{a_i-1,1},dp_{a_i+1,1},dp_{a_i+2,1},\cdots,dp_{500000,1}\}+1$。

解释一下：如果这个数是第偶数个位置，它前面一个必须是它自己。如果是第奇数个位置，只要前一个位置不是它自己都可以转移。另外，$500000$ 是题目中给定的 $a_i$ 的最大值。

这样的复杂度是 $\operatorname{O}(n^2)$ 的，瓶颈在于 $dp_{i,0}$ 的转移。

考虑优化。

我们发现后面转移 $dp_{i,0}$ 的式子实际上就是 $[1,a[i]-1]$ 与 $[a[i]+1,500000]$ 两个区间最大值的最大值。

求区间最大值，不难联想到线段树。

这样我们把 $dp_{i,1}$ 的信息维护到线段树里，开一个数组记录 $dp_{i,0}$，然后就可以转移了。

最后答案显然是 $\max\{dp_{i,1}\}$（$i\in[1,500000]$），线段树上其实就是 $1$ 号区间，所以输出 $tr_1$ 即可（$tr$ 为维护线段树的数组）。

这样复杂度就是只带一只 $\log$ 的了。

Code

代码中的 $dp$ 数组相当于记录上文中 $dp_{i,0}$ 的数组。

#include<bits/stdc++.h>
#define ls now<<1
#define rs (now<<1)|1
using namespace std;
const int N=500005;
int dp[N],tr[N<<2],n,a[N];
void add(int l,int r,int p,int now,int x){
    if(l==r&&l==p){
        tr[now]=max(tr[now],x);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(p<=mid)add(l,mid,p,ls,x);
    else add(mid+1,r,p,rs,x);
    tr[now]=max(tr[ls],tr[rs]);
}
int query(int l,int r,int al,int ar,int now){
    if(al>ar)return 0;
    if(al<=l&&r<=ar)return tr[now];
    int mid=(l+r)>>1,res=0;
    if(al<=mid)res=max(res,query(l,mid,al,ar,ls));
    if(ar>mid)res=max(res,query(mid+1,r,al,ar,rs));
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(dp[a[i]]!=0)add(1,500000,a[i],1,dp[a[i]]+1);
        int res=max(query(1,500000,1,a[i]-1,1),query(1,500000,a[i]+1,500000,1));
        dp[a[i]]=res+1;
    }
    printf("%d",tr[1]);
}