题解：P10954 LCIS

Solution P10954

Idea

我们设 $dp_{i,j}$ 为 $a$ 序列考虑了前 $i$ 个数，以 $b_j$ 结尾的最长 LCIS 长度。注意并不一定以 $a_i$ 结尾。

不设$dp_{i,j}$ 为 $a$ 序列以 $a_i$ 和 $b_j$ 结尾的最长 LCIS 长度（要求必须以 $a_i$ 结尾）的原因是不保证 $a_i=b_j$；不设 $dp_{i,j}$ 为 $a$ 序列考虑了前 $i$ 个数，$b$ 序列考虑了前 $j$ 个数的最长 LCIS 长度的原因是极难转移。

显然有：

• 当 $a_i\neq b_j$ 时，$dp_{i,j}=dp_{i-1,j}$；
• 当 $a_i=b_j$ 时，$dp_{i,j}=\max\{dp_{i-1,k}\}+1$，其中 $k<j$。

这样的复杂度是 $\operatorname{O}(n^3)$ 的，可以通过 CF10D。

然后不难发现 $\max\{dp_{i-1,k}\}$ 是一段前缀，可以直接预处理优化。

这样就省去了枚举 $k$ 的步骤，复杂度减为 $\operatorname{O}(n^2)$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3005;
int n;
long long a[N],b[N],dp[N][N],ans,maxx;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		maxx=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(a[i]!=b[j])dp[i][j]=dp[i-1][j];
			else dp[i][j]=maxx+1;
			if(a[i]>b[j])maxx=max(maxx,dp[i-1][j]);//先计算后处理，因为 k<j
			ans=max(ans,dp[i][j]);
		}
	}
	printf("%lld",ans);
}