ax+by=1 的命题及扩展命题

命题

当 \(x,y\) 均为正整数且 \(\gcd(x,y)=1\)，存在整数 \(a,b\) 使得 \(ax+by=1\)。

证明

当 \(y=0\) 时，因为要满足 \(\gcd(x,y)=1\)，所以 \(x=1\)。此时构造 \(a=1,b=0\) 则满足命题。

否则，已知 \(\gcd(y,x \bmod y)=1\)（因为 \(\gcd(x,y)=\gcd(y,x \bmod y)\)），假设已经可以构造出当 \(a'y+b'(x \bmod y)=1\)（这里递归构造）时的 \(a',b'\) 了，则当前的 $a = b', b=a'- b'\lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor $。

只需将构造出来的 \(a,b\) 的值代入，证明 \(ax+by=a'y + b'(x \bmod y)\) 则可以证明这样是对的。

\[ax+by \]

\[=b'x+(a' - b' \lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor) y \]

\[=b'x + a'y - b'\lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor y \]

\[=a'y + b' ( x- \lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor y) \]

注意到 \(x- \lfloor \dfrac{x}{y} \rfloor y = x \bmod y\)

所以原式

\[=a'y + b'(x \bmod y) \]

所以 \(ax+by=a'y + b'(x \bmod y)\)。

因为 \(a,b\) 可以被构造出来，所以原命题得证。

扩展

• 命题 \(1\)：当 \(x,y\) 均为正整数，存在整数 \(a,b\) 使得 \(ax+by=\gcd(x,y)\)。\(\\\)证明：\(ax+by=\gcd(x,y) \iff a \dfrac{x}{\gcd(x,y)} + b \dfrac{y}{\gcd(x,y)} = 1\)。因为 \(\gcd \left( \dfrac{x}{\gcd(x,y)},\dfrac{x}{\gcd(x,y)} \right)=1\)，所以用上面的命题证明存在整数 \(a,b\) 使得 \(a \dfrac{x}{\gcd(x,y)} + b \dfrac{y}{\gcd(x,y)} = 1\) 即可证明这个命题。

• 命题 \(2\)：当 \(x,y\) 均为正整数，且 \(\gcd(x,y)| d\)，则存在整数 \(a,b\) 使得 \(ax+by=d\)。\(\\\)证明：用命题 \(1\) 可知存在整数 \(a,b\) 使得 \(ax+by=\gcd(x,y)\)。当 \(\gcd(x,y) | d\) 时，将命题 \(1\) 中的 \(a,b\) 同时乘上 \(\dfrac{d}{\gcd(x,y)}\) 即满足 \(ax+by=d\)，即存在 \(a,b\)。

• 命题 \(3\)：对于任意整数 \(z\)，当 \(x,y\) 均为正整数且 \(\gcd(x,y)=1\) 时，存在整数 \(a,b\) 使得 \(ax+by=z\)。（也就是说所有 \(ax+by\) 组成的集合为整数集）\(\\\)证明：使用上面的命题可知存在整数 \(a,b\) 使得 \(ax+by=1\)。将 \(a,b\) 同乘 \(z\) 即得到了 \(ax+by=z\)。

注意，上述所有命题里的 \(a,b\) 都可以被构造，因为最上面的命题 \(a,b\) 可以递归构造，而剩下三个扩展命题都与最上面的命题的 \(a,b\) 有关。