MATLAB实现正态AR(2)模型的预白化

 

正态AR(2)模型的预白化

 

摘要

 

一、极大似然估计

    考虑以下中心AR(2)模型:

                                                                                  

其中 为自回归系数, 为正态 , 和 均未知.

设 是满足模型(1.1)的AR(2)序列, 当已知其在相邻 个时刻的观测值 时, 若记

                                                                                                                                     

则 的基于 的对数似然函数为

  

                                                                           (1.3)                                                                                             

其中 . 由此可得

                                （1.4）

令 可得已知 时, 的极大似然估计为

                                                  （1.5）

将其代入(1.3)中得

                        （1.6）

故

                                                                              （1.7）

用Matlab中函数“fsolve”求解下列方程组

                                                                                                                                                    （1.8）

在集合 内的解 , 即得 的极大似然估计 , 将其代入(1.5)中得到 的极大似然估计为

                                        （1.9）

而 的极大似然估计为

                                                                                                                                        （1.10）

二、AR(2)序列的预白化

上面考虑了AR(2)模型中参数的极大似然估计. 下面根据AR(2)序列的“预白化”, 考虑另外形式的估计. 所谓“预白化”, 是指令

                                                                                                                                             (2.1)

而由模型(1.1) 得到

                                                                                                                   (2.2)

即

                                           (2.3)

由此及 可知

                                                                                                                               (2.4)

据此可得 的基于 的对数似然函数为

                                                         (2.5)

故

                     (2.6)

由此解关于 的线性方程组

                                                                                 

可得 的极大似然估计 . 再令(2.6)中第三式等于0, 而得 的极大似然估计为

                                                         (2.7)

 

三、模拟研究

1．给定 和 及 , 通过模拟产生 组观测值

                                                                                                                 (3.1)

其中 为AR(2)序列 在第 次模拟中产生的在相邻 个时刻的观测值, .

 matlab程序将由后面的“极大似然模型1”和“极大似然模型2”中给出。。。。。。