算法导论第十三章：红黑树
一棵高度为h的查找树的各种操作的性能为O(h)，当树的高度较低时，性能较好，当高度很高时，和链表没什么区别。从上一章可以知道，随机构造的二叉查找树的期望高度为O（lgn）。本章介绍一种平衡的查找树：红黑树，确保在最坏情况下，基本动态集合的操作时间为O(lgn)。
红黑树的性质：
1） 每个结点是红的或黑的
2） 根节点是黑的
3） 每个叶节点（NIL）是黑的
4） 如果一个结点是红的，那么它的两个儿子是黑的；换言之红结点的父节点必然是黑的
5） 对每个结点，从该节点到该子树所有叶结点的所有路径上，包含相同数目的黑结点
为了方便处理，我们用一个哨兵来代表NIL结点，该节点是黑的，不存储实际数据，数据存储在内部节点上。
在定义从某个结点出发(不包括该结点)到达一个叶子结点的任意一条路径上黑结点的个数为黑高度bh(x)。
红黑树的高度：一棵n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)
先证明一棵以结点x为根的子树至少包含内结点数，采用数学归纳法。对黑高度为0，则包含内节点数为0，上式成立。对于结点x来说，考虑x的颜色，它的两棵子树的黑高度可能为bh(x)-1或bh(x)，那么以x为根的子树包含的内节点数至少为。
有了上面的引里，可知一棵树的黑高度bh <= lg(n+1)，又树高度h最多为黑高度的两倍，所以有 h <= 2lg(n+1)。
还有另外一种证明方法：
假设将所有的红结点收缩到其黑父结点中，其孩子成为其父的孩子。那么红黑树将会变成一棵只包含黑结点的树，每个内结点最多有4个孩子结点，最少有2个孩子结点，树的高度为原树的黑高度。
依据二叉树的性质，原树的叶节点树为 n+1， n为内结点数。上述的收缩后的树叶节点的数目不变，同时这棵收缩树的特征又有 n+1 <= 4bh，且n+1>=2bh。于是bh <= lg(n+1)， h<2lg(n+1)。
红黑树的插入和删除
将一个结点插入红黑树，可能会破坏红黑树的性质，这个时候要通过旋转和重新着色来保持红黑树的性质。在不同的case下有不同的旋转和着色方法，原书中有详细的说明，这里不再赘述。
删除操作也是类似的。
思考题：
AVL树
AVL树是一棵高度平衡的二叉树，在每一个结点里面维护一个额外的域h(x)，即结点的高度。AVL树要求任何结点的左子树和右子树的高度最多差1。
1） n个结点的AVL树的高度为O(lg(n))。
用数学归纳法，高度为1的树的结点数F1>=2。依据AVL的定义，Fk>=Fk-1+Fk-2。可知高度为h的AVL树的最少节点数就是第h个斐波那契数。
2）将一个结点插入AVL树，可能引起高度的不平衡，此时需要进行旋转。
