树的直径与最近公共祖先

1.树的直径

1.1 树形DP求树的直径

1.1.2 思路：设d[x]为从结点x出发走以x为根的子树，能够达到最远结点的距离。设x的子节点为y1,y2,y3...yt，edge(x,yi)表示边的权重，那就有：d[x] = max{ d[yi] + edge(x,yi) }（i <= i <=t）。

接下来设经过x的最长链的长度为F[x]，那么整棵树的直径就是max{F[x]} (1 <= x <= n)。F[x]可以由四个部分构成：x走yi子树的最远距离，x走yj子树的最远距离，x到yi的距离，x到yj的距离。也就是:F[x] = maxn{ d[yi] + d[yj] + edge(x,yi) + edge(x,yj) }。

由于我们已经用d[x]保存从结点x出发走向 “以yj为根的子树(j < i)” ，能够达到的最远距离，这个距离就是max{ d[yj] + edge(x,yj) }。所以，我们只要先用d[x] + d[yi] + edge(x,yi)来更新F[x]，再用d[yi] + edge(x,yi) 来更新d[x]即可。

1.2 两次BFS求树的直径

1.2.1 思路：通过两次BFS求出树的直径，更容易计算出直径上的具体结点。做法包括两步：

1. 从任意一个节点出发，通过BFS或DFS对树进行一次遍历，求出与出发点距离最远的节点记为p
2. 从节点p出发，通过BFS或DFS再进行一次遍历，求出与p距离最远的节点，记为q

那么p到q的路径就是树的一条直径。因为p一定是直径的一端，而同理q也是树的另一端，故算法成立。

1.2.2 代码示例：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
vector<int> G[maxn];//用来存放有向边 
int d[maxn];//存放从起始点到该节点的距离 
int p[maxn];//父节点 
bool vis[maxn];//是否已访问 
int BFS(int s){
	memset(vis,false,sizeof vis);
	memset(d,0,sizeof d);
	memset(p,0,sizeof p);
	int ans;//当前最大距离时的结点 
	int maxlen = -1;//最大距离 
	queue<int> q;
	q.push(s);
	vis[s] = true;
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		for(int i = 0;i < G[x].size();i++)	if(!vis[G[x][i]]){
			d[G[x][i]] = d[x]+1;
			p[G[x][i]] = x;
			q.push(G[x][i]);
			vis[G[x][i]] = true;
		}
		if(d[x] > maxlen){
			ans = x;
			maxlen = d[x];
		}
	}
	return ans;//返回最大距离的结点编号 
}

2.最近公共祖先（LCA）

2.1 定义：

给定一颗有根树，若节点z既是节点x的祖先，也是节点y的祖先，则称z是x，y的公共祖先。在x，y所有的公共祖先中，深度最大的一个称为x，y的最近公共祖先，记为LCA(x,y)。

2.2 向上标记法：

2.2.1 思路：

1. 从x向上走到根节点，并标记所有经过的节点
2. 从y向上走到根节点，当第一次遇到已标记的节点时，就找到了LCA(x,y)

2.2.2 复杂度分析：最坏为O(n)

2.3 树上倍增法：

2.3.1 模板： 最近公共祖先模板

2.3.2 复杂度分析：每次询问复杂度为O(logn)

2.4 LCA的Tarjan算法：

2.4.1 模板：

2.4.2 复杂度分析：离线算法，需要把m次询问一次性读入，统一输出。时间复杂度O(n+m)

 

《算法竞赛进阶指南——李煜东》P341