习题：选数（tri树）

题目

  小 s 要在 \([0,2^n)\) 中选一个整数 \(x\)，接着把 \(x\) 依次异或 \(m\) 个整数 \(a_1 \sim a_m\)，他想要最大化 \(x\) 的最终取值。

  然而问题并没有这么简单，小 r 想要干预小 s 的选择。

  在小 s 选出 \(x\) 后，小 r 会选择恰好一个时刻（刚选完数时、异或一些数后或是最后），将 \(x\) 变为 \((\lfloor \frac{2x}{2^n} \rfloor +2x) \bmod 2^n\)。

  小 s 想使 \(x\) 最后尽量大，而小 r 会使 \(x\) 最后尽量小。

  小 s 想要求出 \(x\) 最后的最大值，以及得到最大值的初值数量。

  然而小 s 太笨了不会算，请你帮帮他。

  对于 \(20\%\) 的数据，\(n \leq 10,m \leq 100\);

  对于 \(40\%\) 的数据，\(n \leq 10,m \leq 1000\);

  对于另外 \(20\%\) 的数据，\(n \leq 30,m \leq 10\);

  对于 \(100\%\) 的数据，\(n \leq 30,m \leq 100000,0 \leq a_i<2^n\)。

思路

设\(f(x)=(\lfloor\frac{2x}{2^n}+2x\rfloor)\% 2^n\)

可以发现，这就是对x进行一次向左的循环

考虑一个数\(x\)，他会进行的变化为\(f(x\oplus pre_i)\oplus(pre_n\oplus pre_i)\)

其中\(pre_i\)表示前缀异或

有了对\(f(x)\)的深入理解，发现\(f\)可以拆开

\(f(x)\oplus f(pre_i)\oplus(pre_n\oplus pre_i)\)

可以发现\(f(x)\)对先手而言没有用

可以转换为\(x\oplus f(pre_i)\oplus(pre_n\oplus pre_i)\)

之后考虑\(f(pre_i)\oplus (pre_n\oplus pre_i)\)进行建tri树

对于每一个节点先手的选择就是\((0,1)\)，后手的选择就是左儿子和右儿子

如果有两个儿子，那么不管怎么样都为0，所以需要两边都去搜索

只有一个儿子，就可以构造成为1

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define x first
#define y second
namespace tri
{
   int n;
   int cnt=1;
   struct node
   {
       int ch[2];
   }tre[30*100000+5];
   void insert(int s)
   {
       int now=1;
       for(int i=n-1;i>=0;i--)
       {
           int t=(s>>i)&1;
           if(tre[now].ch[t]==0)
               tre[now].ch[t]=++cnt;
           now=tre[now].ch[t];
       }
   }
   pii ask(int now,int ans)
   {
   	//cout<<now<<' '<<tre[now].ch[0]<<'\n';
   	//	cout<<now<<' '<<tre[now].ch[1]<<'\n';
       if(tre[now].ch[0]==0&&tre[now].ch[1]==0)
           return make_pair(ans,1);
   	if(tre[now].ch[0]!=0&&tre[now].ch[1]!=0)
       {
           pii t1=ask(tre[now].ch[0],ans<<1);
           pii t2=ask(tre[now].ch[1],ans<<1);
           if(t1.x==t2.x)
               return make_pair(t1.x,t1.y+t2.y);
           else
               return max(t1,t2);
       }
       else
       {
           if(tre[now].ch[0])
               return ask(tre[now].ch[0],ans<<1|1);
           else
               return ask(tre[now].ch[1],ans<<1|1);
       }
   }
}
using namespace tri;
int m;
int a[100005];
int s[100005];
int calc(int s)
{
   return (2*s/(1<<n)+2*s)%(1<<n);
}
int main()
{
   cin>>n>>m;
   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
       cin>>a[i];
       s[i]=s[i-1]^a[i];
   }
   /*for(int i=1;i<=m;i++)
   	cout<<s[i]<<' ';
   cout<<'\n';*/
   for(int i=0;i<=m;i++)
   {
       insert(calc(s[i])^(s[m]^s[i]));
       //cout<<(calc(s[i])<<'\n';
   }
   pii t=ask(1,0);
   cout<<t.x<<'\n'<<t.y;
   return 0;
}