博弈论（2）DP/记忆化搜索

博弈问题的话，假设两个人都极度聪明，都会采取最优策略，那么就是也知道了对方也和自己一样聪明，我采取最优策略后，对方也会根据当前状态做出最优策略，简而言之，就是每个玩家都从第一步棋看到了最后一步棋。

先手控局，棋还没下，就已经知道走哪一步会获得什么样的结果。

那么，现代化的我们就可以用计算机根据每个状态下必取最优策略的原则，提前搜索出所有情况。

再次强调，最优是针对的状态，上文已经说过两人都是满智力奇才，面临什么样的状态就代表面临着什么样的结局。

常用算法：记忆化搜索，状压DP。

根据我的经验，博弈都是逆推，这也和上面提到的博弈的性质有关，对当前状态进行决策时，必然要先知道所有后续状态的最优嘛。

例题：

http://poj.org/problem?id=1678

题意：有N个数，有一个区间[A,B]，先手先取一个数x（必须A<=x<=B），后手取一个数y（必须A+x<=y<=B+x），再先手取一个数z（必须A+y<=z<=B+y），，直到不能取，求先手所取数之和-后手所取数之和

把先手当做收益，后手当做损失，那么这题就好比求先手所面临状态的最大收益

发现这个题后面的状态不能影响前面的状态，那么便可以记忆化搜索，时间复杂度不高。

这里的状态就是区间，决策就是取一个在这个区间里的数。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf=1000000000;
int used[30005],dp[30005],a0,b0;
int dfs(int a,int b,int x)//已选择x， 【a，b】为对方面临的状态 
{    if(dp[x]!=-inf) return dp[x];
    int num=0,res=-inf; 
    for(int i=a;i<=b;i++)//对方在【a，b】所能达到的最大收益 
        {    if(!used[i]) continue;
            used[i]--;
            res=max(res,dfs(a0+i,b0+i,i));
            
            used[i]++;
            num++;
        }
    if(num==0) return dp[x]=x;
    else return dp[x]=x-res;
}
int main()
{    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {    int n;
        memset(used,0,sizeof(used));
        for(int i=1;i<=10000;i++)
            dp[i]=-inf;
            
        scanf("%d%d%d",&n,&a0,&b0);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(x>0) used[x]++;
        }
        int res=-inf,num=0;
        for(int i=a0;i<=b0;i++)
        {    if(!used[i]) continue;
            used[i]--;
            res=max(res,dfs(a0+i,b0+i,i));
            
            used[i]++;
            num++;
        }
        if(num==0) res=0;
        printf("%d\n",res);
        
        
        
    }
    
    
    
    
    return 0;
}