UVA10529 Dumb Bones

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UVA10529

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题意：

你需要搭建长度为 \(n\) 的多米诺骨牌，骨牌在搭建时可能会向左或向右倒，这将让连续的多个相邻骨牌都被弄倒，现在给出 \(n\) 和向左和向右倒的概率，求期望搭多少次才能搭完。

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分析：

这道题没有思路的时候会感觉很杂乱。

我们考虑要搭建一个区间，长度为 \(k\)，似乎有很多搭建的方法，但注意到最后的一次搭建时，两边一定都是搭建好的，也就是说枚举最后一次搭建的位置，然后转移就是

\[f[l][r]=f[l][k-1]+f[k+1][r]+\frac{1}{1-pl-pr}+\frac{pl}{1-pl-pr}*f[l][k-1]+\frac{pr}{1-pl-pr}*f[k+1][r] \]

解释一下：

成功搭建的概率是 \(1-pl-pr\)，那么搭建成功的期望次数是 \(\dfrac{1}{1-pl-pr}\)，这是显然的，然后搭建成功之前都是搭建失败的，总失败数是 \(\dfrac{1}{1-pl-pr}-1=\dfrac{pl+pr}{1-pl-pr}\)，在根据向左和向右的概率得出重搭左边的次数是 \(\dfrac{pl}{1-pl-pr}\)，重搭右边的次数是 \(\dfrac{pr}{1-pl-pr}\)，于是就有状态转移方程了。

因为 \(pl,pr\) 对于每个骨牌都是相同的，所以两个长度相同的区间搭建次数显然是完全相同的，所以我们可以把二维区间dp改成一维，只需要设 \(f[i]\) 表示搭建长度为 \(i\) 的区间的期望次数就好了，这样就可以从 \(O(n^3)\) 优化到 \(O(n^2)\)。另外注意到题目要求是选择最好的策略，所以转移的时候要取min。

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算法：

根据转移方程区间dp即可。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,T;
double pl,pr,f[1005][1005];
signed main(){
	memset(f,127,sizeof(f));
	while(cin>>n&&n){
		cin>>pl>>pr;T++;
		f[T][1]=1.0/(1.0-pl-pr);
		f[T][0]=0;
		for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		f[T][i]=min(f[T][i],1.0/(1.0-pl-pr)+f[T][j-1]*(1+pl/(1.0-pl-pr))+f[T][i-j]*(1+pr/(1.0-pl-pr)));		
		cout<<fixed<<setprecision(2)<<f[T][n]<<'\n';
	}
	return 0;
}

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题外话：

神奇的概率题，抓住最后的一次搭建时的特殊情况来dp。