arc089_f ColoringBalls
arc089_f ColoringBalls
https://atcoder.jp/contests/arc089/tasks/arc089_d
有 \(n\) 个球排成一列,初始所有球均为白色.
有一个长度为 \(k\) 的操作序列,每个元素为 'r','b',表示选择一个区间(可以为空),然后将区间内的球染为红色或蓝色.
特别的,'b'操作所选择的区间内不能存在白色球.
问依次进行 \(k\) 次操作后,可能的球的染色结果,答案对 \(10^9+7\) 取模
\(1 \le n \le 70\)
\(1 \le k \le 70\)
Tutorial
考虑如何判断一个结果序列是否可能存在.首先简化结果序列的形式.
首先,相邻的相同颜色的球可以合并.然后,对于白色的球分开的若干组,发现有如此的分组方法.
Group1 r: R
Group2 rb: B BR RB RBR
Group3 rb?: BRB RBRB BRBR RBRBR
...
发现可以通过必须的操作序列来将白色球分开的子串分组,所以用组的编号代替每一段,然后按编号从大到小排序,就可以得到一个 \(f\) 数组,表示结果序列的最简形式.
发现最简形式是一个类似划分数的东西,所以可以通过dfs搜索出所有可能的 \(f\) 数组,而且可以简单计算出一个 \(f\) 数组对应的结果序列个数.
现在考虑如何判断 \(f\) 数组是否合法,可以贪心的考虑
- 对于 \(f\) 数组中第 \(k\) 个元素,将操作序列中第 \(k\) 个r分配给它,记其位置为 \(r_k\)
- 对于 \(f\) 数组中第 \(k\) 个元素,若 \(f_k>1\) ,则将 \(r_k\) 后第一个未使用的 \(b\) 分配给它,记其位置为 \(b_k\)
- 对于 \(f\) 数组中第 \(k\) 个元素,若 \(f_k>2\) ,则将 \(b_k\) 后前 \(f_k-2\) 个未使用元素分配给它
若上述操作可以完成,则 \(f\) 合法.
Code
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#define debug(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define inver(a) power(a,mod-2)
using namespace std;
template<class T> inline bool Cmax(T &x,T y) {return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1000+5;
const int maxk=70+5;
int n,k;
int an;
int r[maxk],b[maxk];
int fac[maxn];
int inv[maxn];
int num[maxk];
bool vis[maxk];
char s[maxk];
vector<int> a;
inline int add(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
ll power(ll x,ll y)
{
ll re=1;
while(y)
{
if(y&1) re=re*x%mod;
x=x*x%mod;
y>>=1;
}
return re;
}
inline int binom(int x,int y)
{
return (ll)fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
bool check()
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=0,j=1;i<a.size();++i)
{
while(j<=k&&s[j]!='r') ++j; if(j>k) return 0;
r[i]=j,vis[j++]=1;
}
for(int i=0,j=1;i<a.size();++i) if(a[i]>=2)
{
Cmax(j,r[i]+1);
while(j<=k&&s[j]!='b') ++j; if(j>k) return 0;
b[i]=j,vis[j++]=1;
}
for(int i=0,j=1;i<a.size();++i) if(a[i]>=3)
{
Cmax(j,b[i]+1);
int T=a[i]-2; while(T--)
{
while(j<=k&&vis[j]) ++j; if(j>k) return 0;
vis[j++]=1;
}
}
return 1;
}
void dfs(int rest,int las)
{
if(check())
{
int v=a.size()+1;
for(int i=0;i<a.size();++i)
{
v+=num[a[i]];
if(a[i]>1) v+=2;
}
int re=(ll)binom(rest+v-1,rest)*fac[a.size()]%mod;
for(int i=0,j;i<a.size();i=j)
{
j=i; while(j<a.size()&&a[j]==a[i]) ++j;
re=(ll)re*inv[j-i]%mod;
}
an=add(an+re);
}
for(int i=1;i<=las;++i)
{
if(num[i]+1>rest) break;
a.push_back(i);
dfs(rest-num[i]-1,i);
a.pop_back();
}
}
void init(int n)
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
}
inv[n]=inver(fac[n]);
for(int i=n;i>=1;--i)
{
inv[i-1]=(ll)inv[i]*i%mod;
}
}
int sol()
{
init(1000);
an=1;
num[1]=1;
num[2]=1;
for(int i=3;i<=70;++i) num[i]=num[i-1]+2;
for(int i=1;;++i)
{
if(num[i]>n) break;
a.push_back(i);
dfs(n-num[i],i);
a.pop_back();
}
return an;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
scanf("%s",s+1);
printf("%d\n",sol());
return 0;
}
