数据结构与算法——多路查找树
tip：这里对多路查找树是简单介绍和讲解，因为这部分属于深入学习了
二叉树存在的问题
二叉树的操作效率较高，但是也存在问题，如下图所示
当二叉树的节点较少时，不会出现什么问题。但是当节点过多时（海量，如 1 亿），就会出现如下的问题：
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构建二叉树时，需要进行多次 I/O 操作
节点较多时，一般会存储在文件或则数据库中，进行多次 I/O 获取到所有的节点，速度有影响
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会造成二叉树的高度很大，降低操作速度
多叉树
为了解决层数过多的问题，就出现了 多叉树。
在二叉树中，每个节点只有一个数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点，就是 多叉树（multiway tree）。
多叉树也有一定的规则的，比如后面讲解的 2-3 树、2-3-4 树，就是多叉树。
多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，对二叉树进行优化。
下图则是一颗 2-3 的多叉树：
2-3 的原因：如上图按节点数量来定义的。有的只有 2 个子节点，有的有 3 个子节点。
B 树的基本介绍
B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 I/O 读写次数来提升效率。
上图说明：
- 一个圆圈表示一个数据项
- 相连的数据项，整个表示一个节点
那么它的优点如何理解呢？
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降低树的高度：
可以看到，一个节点中有很多数据项，就能大大减少节点数量，从而降低树的高度
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减少 I/O 读写次数
文件系统及数据库系统的设计者利用了 磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页（通常大小为 4K），这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入。
这样说，你可能没有概念，举个例子：将树的度 M 设置为 1024 ，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素。
B 树（B+ ）广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中。
什么是 度？
- 节点的度：一个节点下的子树节点个数就是 节点的度。
- 树的度：指一颗树中，节点的度最大的哪一个值。
B 树其实就是前面所说的 多叉树
2-3 树
2-3 树是最简单的 B 树结构，具有如下特点：
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所有 叶子节点 都在同一层
只要是 B 树都满足这个条件，就是满树。
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有两个子节点的节点叫 二节点
二节点要么 没有子节点，要么 必须有两个子节点。
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有三个子节点的节点叫 三节点
三节点要么 没有子节点，要么 必须有三个子节点。
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2-3 树是由 二节点 和 三节点 构成的树
2-3 树构建图解
对数列 {16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成一个 2-3 树，那么它构建的规则要满足前面说的特点。下面进行图解后，你就明白，上面的特点是如何限制的。
有几个额外的注意事项：
- 一个节点中，最多只允许放 2 个数据。
- 构建的树必须是有序的，也就是按照二叉排序（BST）的要求构建有序的树
下面是图解步骤：
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添加 16、24
添加 16 时，没有数据，直接新建一个节点，放进去。
添加 24 时，发现有一个节点了，并且比 16 大，此时该节点中只有一个数据，则将 24 放在 16 的右边。
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添加 12
此时会发现，12 比 16 小，本来应该放在 16 的左边，此时发现这个节点 已经有两个数据了，那么就只能放在 左子节点 。
如果直接将 12 放到
16,24的左节点，就会破坏 2-3 树的条件：2 节点，要么没有子节点，要么有两个。那么此时就只能将
16,24这个节点进行拆分。如上图：24 变成 16 的右节点，12 变成 16 的左节点。这时就满足了 2-3 的特性。 -
添加 32
这个就简单了，以现在的树结构，可以直接添加到 24 的 右边，变成
24,32
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添加 14
这个也简单，直接添加到 12 的右边，变成
12,14
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添加 26
此时应该添加到
24,32的中间，由于一个节点只能添加两个数据，那么就需要拆分。
为了满足 B 树特点，发现上层的
16只有一个数，那么就补足它。组成16,26。因为此时
24,32这个节点，不满足 BST 的排序了，24 是小于 26 的。只有 32 满足。拆完上层，再拆本层：由于 24 介于
16,26之间，则将它安排在 3 节点中的中间节点，24,32把 24 拆分出去了，只剩下32，此时完全满足 B 树的特点。 -
添加 34
此时就简单了，添加到
32,34中
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添加 10
此时应该添加到
12,14的左侧。但是不满足条件：一个节点最多只能装 2 个数据。放到
12,14的左节点，也不满足条件：所有叶子节点必须在同一层，并且也不满足 2-3 节点的数量要求。那么此时就需要拆分，先看他的上层
16,26是满的，如何做呢？看下图：
左侧的拆分图，上面我们分析过了，不满足 B 树要求。那么就需要拆分成右图这样：
- 将
12,14中的 14 拆分成 右子节点，10 挂在 左节点。 - 此时不满足 B 树要求的，则将
16,26中的 26 拆分成 右子节点。 24这个节点由于上层被拆分了，不满足在中间节点了。调整它的位置- 原来的
32,34节点调整为16的右节点。
- 将
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添加 8
此时很简单，组成
8,10即可
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添加 28
这里笔者有点小小的疑问，此时 28 不是应该加在
26,28吗？难道说这里还有一个规则：- 只有一个数据的节点，下面只允许 最多有 2 个节点，要么没有
- 有 2 个数据的节点，下面只允许 最多有 3 个节点，要么没有
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添加 38
此时就简单，直接组成 34,38
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添加 20
这个也简单，直接组成
20,24
2-3 树添加规则总结
满足如下特点：
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所有 叶子节点 都在同一层
只要是 B 树都满足这个条件，就是满树。
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有两个子节点的节点叫 二节点
二节点要么 没有子节点，要么 必须有两个子节点。
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有三个子节点的节点叫 三节点
三节点要么 没有子节点，要么 必须有三个子节点。
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2-3 树是由 二节点 和 三节点 构成的树
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构建的树，要满足二叉排序树（BST） 的顺序
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一个节点中，最多只允许放 2 个数据。
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只有一个数据的节点，下面只允许 最多有 2 个节点，要么没有
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有 2 个数据的节点，下面只允许 最多有 3 个节点，要么没有
2-3-4 树
除了 2-3 树，还有 2-3-4 树，他的特点是在 2-3 树的基础上，还多了一个 4 节点，同样，一个节点最多可以装 3 个数据，要么有 4 个节点，要么没有。
B 树、B+ 树、B*树
B 树
B-tree 树即 B 树，B 是 Balanced 平衡的意思。
tip
B-树，这个也是B 树，只是翻译的文本容易产生误解。
上图就是一个 B 树，说明如下：
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B 树的阶：节点的最多 子节点 个数
如：2-3 树的阶是 3，2-3-4 树的阶是 4
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B 树的搜索
从 根节点开始，对节点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的 儿子节点。
然后重复，直到所对应的儿子节点指针为空，或则已经是叶子节点。
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关键字集合分布在整棵树中
即：叶子节点和非叶子节点都存放数据
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搜索有可能在非叶子节点结束
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其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找
B + 树
在 MySQL 中，有些索引就是用 B 树或则 B+ 树实现的。B+ 树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。
B + 树说明：
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B+ 树的搜索与 B 树基本相同，区别是 B+ 树只有到达叶子节点才命中（B 树可以在非叶子节点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
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所有 关键字都出现在叶子节点的链表中
即：数据只能在叶子节点，也叫 稠密索引，且链表中的关键字（数据）恰好是有序的。
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不可能在非叶子节点命中
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非叶子节点相当于是叶子节点的索引，也叫 稀疏索引，叶子节点相当于是存储（关键字）数据的数据层
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更适合文件索引系统
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B 树和 B+ 树有各自的应用场景，不能说 B+ 树完全比 B 树好。
B+ 树的这种设计，应该是类似分段思想，比如：5,28,65，下面存放三个节点：
5-28的段，为一个节点28-65的段，为一个节点65以上的段，为一个节点
比如查询 30 ，直接找到在第二个节点中，然后往下一个目录索引找，就很快能定位到数据。
B* 树
B* 树是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟的指针
说明：
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B*树定义了 非叶子节点 关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而 B+ 树的块的最低使用率为 B+ 树的1/2M 是指树的度，也就是层。
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从第 1 个特点，可以看出
B*树分配新节点的概率比 B+ 树要低，空间使用率更高。
