08 2011 档案
摘要：Just like leftist or skew heaps, a binomial heap is also a mergeable heap data structure. But unlike those 'lopsided' heaps that are composed of only single binary tree, a binomial heap consists of a set of trees that are called binomial trees. Binomial trees are so called because the number
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摘要：斜堆(Skew Heap)基于左倾堆的概念，也是一个用于快速合并的堆结构，但它可自我调整(self-adjusting)，每一个merge操作的平摊成本仍为O(logN)，其中N为结点数，而且和左倾堆相比，每个结点没有npl属性，从而节省了空间。斜堆并不能保证左倾，但是每一个合并操作（也是采取右路合并）同时需要无条件交换（而左倾堆中只是根据左右子树的npl值不符合要求时才交换）左右子树，让新合并的右子树变成左子树，原来的左子树变成新的右子树（这有点类似于Splay Tree中的做法），从而可以达到平摊意义上的左倾效果。注意：一颗子树r和NULL子树合并时并不需要交换r子树的左右子树。由于斜堆并
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摘要：Tarjan算法解决LCA查询要求事先知道全部查询提问，如果LCA要求即时询问即时回答，就需要用到下面介绍的在线算法。在线算法需要对任意树进行预处理，设输入树的结点个数为n，该算法的预处理时间和空间复杂度都是O(n)，查询复杂度为O(1)。本算法的基本思想是将对一棵树T做预处理，生成每个结点的额外信息，然后利用结点的额外信息将T映射到一颗完全二叉树B，最后利用完全二叉树的特性，通过二进制位运算可以在常数时间内查询出任何两个结点x和y的LCA。*****************预处理*****************预处理T需要生成每个结点的inlabel值，ascendant值，parent和
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摘要：左倾堆(Leftist Heap)是一个便于merge操作的数据结构，通过左倾树(Leftist Tree)实现。左倾树是一种特殊的二叉树,树中结点除了满足普通二叉堆的key大小规定外，还要求每一个结点X的左子树的Null Path Length（NPL)值不小于右子树的NPL值，因此这也是与普通二叉堆的区别：虽然普通二叉堆也满足左倾树的条件，左倾树往往不是一棵完全二叉树(而且通常不平衡)，从而左倾树不能用数组表示了。上面提到的NPL指的是某个结点到NULL结点（总共有n+1个NULL结点）的最短路径长度，规定NULL结点本身的NPL等于-1，叶子结点的NPL等于0,非叶结点的NPL等于它的两
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摘要：LCA的Tarjan离线(offline)算法中，通过后序DFS遍历多叉树(结点数为n)，利用并查集算法(disjoint sets‘ union-find operations)，可以在线性时间O(n+|P|)内找到事先给定（即offline的含义）的|P|个成对结点的LCA。具体做法如下：1）首先所有的结点通过makeSet(x)调用放到各自独立集合中，然后在用lca(u)递归调用任何一个结点u时，按照从左到右顺序依次遍历u的所有子树v1,v2...vk，在v1被访问之后，v1的属性visited标记为true（此时u的属性visited还是false），然后将v1子树中所有结点与u结点合
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摘要：树状数组中每个元素覆盖了不同长度的子区间，类似于稀疏表(ST)算法的思想，每一个数组元素存储了输入数列A在该区间的最小值下标。注意：这里树状数组不是用来存储区间累加值，而是区间的最小值下标。这里针对预处理阶段提供两个算法：方法1(参考以下实现代码中的方法preprocess)采用类似于累加和中的update做法，每一个元素A[i]需要处理树状数组T中O(logn)个受影响的元素，因此预处理复杂度为O(nlogn)。方法2(参考以下实现代码中的方法preprocess2或preprocess3)利用DP（动态规划）思想，观察到树状数组中每一个下标为i的元素覆盖的区间都可以划分为：r个子区间 +
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摘要：树状数组(BIT - Binary Indexed Tree)是一个用数组表示的树型数据结构，最早用于频次累计表中。树状数组中每个元素维护一个频次表A的特定部分区段的累加和。假设输入动态序列为A，A中元素值可以被修改，如果使用直接蛮力法来查询一个区间i..j的累加和，复杂度为O(n)，而树状数组由于每个元素存储的是部分累加和，通过数组下标的二进制索引规律可以在O(logn)时间内找到1...j或i...j的累加和。存储空间只需要维护树状数组T，A的元素值可以很容易地从T得到（即特例i=j时的区间查询）。数组A下标通常从0开始，而树状数组的有效下标是从1开始。下面关于lowbit的讨论假设数组A
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摘要：在普通RMQ问题的<O(n),O(1)>算法中，由于需要构造Cartesian Tree和得到Euler tour，两个2*n-1大小的数组E和L使得空间消耗增加O(4*n)。本文介绍的Fischer-Heun算法绕过构建Cartesian Tree的步骤，也不需要将普通RMQ转化为RMQ+1/-1问题再求解。该算法的基本思想也是采用RMQ+1/-1的分组处理, 分别生成组内的Lookup Table和组外的稀疏表。但是在每个组的大小缩小了一倍，成为s=(logn)/4。由于每个组对应一颗笛卡尔树，若两个不同的组对应的两棵笛卡尔树相同的话，那么这两个组的lookup table完全
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摘要：基本思想是通过对问题的转化，最终得到<O(n),O(1)>时间复杂度。该算法分以下两大步骤：1）将RMQ问题转化为LCA问题：先构建输入数列A的笛卡尔树，构建笛卡尔树的复杂度为O(n)。2）将LCA问题转化为RMQ+1/-1问题：通过对笛卡尔树的DFS遍历得到欧拉路径(Euler Tour)，建立三个数组E,L和R。其中E和L大小是2*n-1，E中元素表示笛卡尔树中每个结点的label值（实际上就是数列A的下标索引值），L中元素对应欧拉路径上每一个被访问结点的深度（即从root到该结点的深度，root本身的深度为0）; R是笛卡尔树中的每一个结点第一次被访问时在E中的位置，即E[R
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摘要：JavaCV(http://code.google.com/p/javacv/) is a java wrapper of OpenCV (http://opencv.willowgarage.com/). Because it is just a java wrapper, it is necessary to install opencv as a prerequisite. As of this writing, javaCV requiresOpenCV 2.3. Here is how to prepare the whole setup before we get to play
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摘要：RMQ+1/-1问题要求数列中相邻两个元素相差+1或-1。利用这个限定条件可以使该算法复杂度总体上达到<O(n),O(1)>。具体做法是：1) 设数列A的大小为n，先对数列A分组，每组大小为b=1/2.logn （之所以这样分是为了将预处理复杂度从O(nlogn)降为O(n)），共分为n/b个组；以下第2到第4步完成RMQ+1/-1问题的预处理阶段(参考以下实现中的preprocess方法)。2）生成O(sqrt(n))个LU表P[][]和一个block类型数组T[]: 对每个组内部进行预处理(inblock preprocessing)（参考以下实现中的makeLUTable方法
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摘要：ST(Sparse Table)算法的基本思想是，预先计算从起点A[i]开始长度为2的j次方(j=0,1...logn)的区间的最小值，然后在查询时将任何一个区间A[i..j]划分为两个预处理好的可能重叠的区间，取这两个重叠区间的最小值。在预处理阶段，从起点A[i]开始，任何一个长度为2^j的区间都可以划分为两个长度2^(j-1)的区间，其中第一个区间的范围为：i...i+2^(j-1)-1；第二个区间的范围为：i+2^(j-1)...i+2^j-1。用M[i,j]表示从A[i]开始，长度为2^j的区间（即A[i]...A[i+2^j-1]）最小值对应的下标，那么A[M[i,j]] = min
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摘要：RMQ（Range Minimum Query)问题是计算一个输入数列A[0...n-1]从位置i到位置j之间的最小值，即RMQ[i,j]=min{A[k], k=i,i+1...j}。RMQ的解法有很多，比如Sparse Table（ST）算法（注意这个ST缩写不是指Segement Tree哦）和转化为特殊的+1/-1 RMQ的算法。为了查询的方便，RMQ算法需要对数列A进行预处理(preprocessing)，如果用<f(n),g(n)>分别表示RMQ算法的预处理复杂度和查询复杂度的话，用线段树(segment tree)解决RMQ问题的复杂度为<O(n),O(logn
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