实用指南：UVa 10228 A Star not a Tree?

题目描述

卢克想要将他的家庭计算机网络从$\text{10mbs}$ 升级到 $\text{100mbs}$。他现有的网络运用$\text{10base2}$（同轴）电缆，可能将任意数量的计算机以线性方式连接在一起。不幸的是，卢克无法使用现有的布线。$\text{100mbs}$ 系统使用 $\text{100baseT}$（双绞线）电缆，每条电缆只能连接两个设备。

卢克选择了第二种方案：购买$N$张网卡和一个集线器（$\text{hub}$），并将他的$N$通过台计算机分别连接到集线器上。卢克能够随意布置电缆和放置集线器的位置，但计算机的位置是固定的。他想要最小化需要购买的电缆总长度。

输入格式

第一行包含测试用例的数量，后面跟着一个空行。

每个测试用例以一个正整数$N\le 100$（计算机的数量）开始，后面跟着$N$行，每行给出计算机在房间内的$(x,y)$坐标（单位为$\text{mm}$）。所有坐标都是$0$ 到 $10000$之间的整数。

连续测试用例之间有一个空行。

输出格式

对于每个测试用例，输出一个数字，表示电缆段的总长度（四舍五入到最近的$\text{mm}$），单独占一行。

连续两个测试用例之间输出一个空行。

题目分析

问题本质

这个问题可以抽象为：在平面上给定$N$个点（计算机的位置），需要找到一个点（集线器的位置），使得该点到所有给定点的欧几里得距离之和最小。

这实际上是一个经典的费马-韦伯问题（$\text{Fermat-Weber problem}$），也称为几何中位数（$\text{geometric median}$）问题。

数学模型

给定 $N$ 个点 $P_i=(x_i,y_i)$，我们需要找到一个点$H=(h_x,h_y)$，使得目标函数最小化：

$$f(h_x,h_y)=\sum _{i=1}^N\sqrt{(h_x-x_i{)}^2+(h_y-y_i{)}^2}$$

与质心（所有点的平均值）不同，几何中位数没有封闭形式的解析解，需要使用数值方法求解。

算法选择

我们使用 韦茨菲尔德算法（$\text{Weiszfeld’s algorithm}$）来求解几何中位数。该算法是一个迭代算法，主要思想如下：

1. 初始化：将几何中位数的初始估计值设为所有点的质心
2. 迭代更新：根据当前估计值，使用加权平均来更新几何中位数的位置
3. 收敛判断：当位置变化很小时停止迭代

迭代公式为：

$$H^{(k+1)}=\frac{{\sum }_{i=1}^N\frac{P_i}{\Vert H^{(k)}-P_i\Vert }}{{\sum }_{i=1}^N\frac{1}{\Vert H^{(k)}-P_i\Vert }}$$

其中 $\Vert H^{(k)}-P_i\Vert$表示当前估计点$H^{(k)}$ 到点 $P_i$的欧几里得距离。

算法细节

1. 初始值选择通过：将初始几何中位数设为所有点的质心，这样能够加速收敛
2. 数值稳定性：当几何中位数与某个数据点重合时，分母可能为零，需要特殊处理
3. 收敛条件：当连续两次迭代的位置变化小于某个阈值，或者达到最大迭代次数时停止
4. 精度处理：最终结果要求四舍五入到最接近的毫米

复杂度分析

• 每次迭代需要$O(N)$时间计算距离和权重
• 通常需要 $O(1)$ 到 $O(\log \frac{1}{ϵ})$次迭代即可收敛
• 对于 $N\le 100$的规模，算法非常高效

参考代码

// A Star not a Tree?
// UVa ID: 10228
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-16
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net
#include <iostream>
  #include <vector>
    #include <cmath>
      #include <iomanip>
        using namespace std;
        // 点结构体，表示二维坐标
        struct Point {
        double x, y;
        Point(double x = 0, double y = 0) : x(x), y(y) {}
        };
        // 计算两点间的欧几里得距离
        double distance(const Point& a, const Point& b) {
        return hypot(a.x - b.x, a.y - b.y);
        }
        // 使用Weiszfeld算法计算几何中位数
        Point geometricMedian(const vector<Point>& points, int maxIterations = 200) {
          int n = points.size();
          // 初始点设为所有点的质心（平均值）
          Point median;
          for (const auto& p : points) {
          median.x += p.x;
          median.y += p.y;
          }
          median.x /= n;
          median.y /= n;
          // Weiszfeld算法迭代
          for (int iter = 0; iter < maxIterations; iter++) {
          Point numerator(0, 0);  // 分子部分
          double denominator = 0; // 分母部分
          // 计算加权平均的分子和分母
          for (const auto& p : points) {
          double dist = distance(median, p);
          if (dist < 1e-12) {
          // 如果距离太小（接近某个数据点），跳过避免除零
          continue;
          }
          numerator.x += p.x / dist;
          numerator.y += p.y / dist;
          denominator += 1.0 / dist;
          }
          // 如果分母为零，说明几何中位数与某个数据点重合
          if (denominator == 0) {
          break;
          }
          // 计算新的几何中位数估计
          Point newMedian(numerator.x / denominator, numerator.y / denominator);
          // 检查是否收敛（位置变化很小）
          if (distance(newMedian, median) < 1e-12) {
          break;
          }
          // 更新几何中位数
          median = newMedian;
          }
          return median;
          }
          int main() {
          int cases;
          cin >> cases;
          bool firstCase = true;
          while (cases--) {
          int n;
          cin >> n;
          vector<Point> computers(n);
            for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> computers[i].x >> computers[i].y;
            }
            // 计算几何中位数（最优集线器位置）
            Point hub = geometricMedian(computers);
            // 计算总电缆长度
            double totalLength = 0;
            for (const auto& computer : computers) {
            totalLength += distance(hub, computer);
            }
            // 输出结果（四舍五入到最近的整数）
            if (!firstCase) {
            cout << endl;
            }
            firstCase = false;
            cout << static_cast<int>(round(totalLength)) << endl;
              }
              return 0;
              }

总结

本题通过几何中位数的概念和韦茨菲尔德算法，有效地解决了最优集线器放置问题。关键点在于：

1. 理解问题本质是寻找使总距离最小的点
2. 掌握韦茨菲尔德算法的原理和实现
3. 注意数值稳定性和收敛条件处理
4. 正确处理输入输出格式要求

该算法对于 $N\le 100$的规模非常高效，能够在合理时间内找到高质量的近似解。