学习笔记(25):线性代数，矩阵-矩阵乘法原理 - 详解

学习笔记(25):线性代数，矩阵-矩阵乘法原理

1、代码

import torch
A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
print(A)
A = A.to(torch.float32)  # 或使用A.float()
B = torch.ones(4, 3)
print(B)
print(torch.mm(A, B))

2、执行结果

tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])
tensor([[1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.]])
tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

计算原理解释：

要计算 torch.mm(A, B)（矩阵乘法），需要确保 A 的列数等于 B 的行数。在你的例子中：

• A 是一个 5×4 的矩阵（5 行 4 列）。
• B 是一个 4×3 的矩阵（4 行 3 列）。

由于 A 的列数（4）等于 B 的行数（4）通过一个 就是，因此能够进行矩阵乘法，结果将5×3 的矩阵。

矩阵乘法原理

矩阵乘法 C = A × B 的计算规则是：

• C 的行数等于 A 的行数（5 行）。
• C 的列数等于 B 的列数（3 列）。
• C 中每个元素 C[i,j] 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。

计算步骤示例

以结果矩阵 C 的第一行第一列元素 C[0,0] 为例：

1. 取 A 的第 0 行：[0, 1, 2, 3]
2. 取 B 的第 0 列：[1., 1., 1., 1.]
3. 对应元素相乘后求和：(0×1)+(1×1)+(2×1)+(3×1)=0+1+2+3=6$(0\times 1)+(1\times 1)+(2\times 1)+(3\times 1)=0+1+2+3=6$

同理，计算其他元素：

• C[0,1] = (0×1) + (1×1) + (2×1) + (3×1) = 6
• C[0,2] = (0×1) + (1×1) + (2×1) + (3×1) = 6
• 以此类推，最终得到整个矩阵 C。

A=tensor([[ 0,  1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6,  7],
        [ 8,  9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])
B=tensor([[1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.],
        [1., 1., 1.]])

结果：

tensor([[ 6.,  6.,  6.],
        [22., 22., 22.],
        [38., 38., 38.],
        [54., 54., 54.],
        [70., 70., 70.]])

验证方法

由于 B 的所有元素都是 1，因此结果矩阵 C 的每个元素 C[i,j] 实际上等于 A 的第 i 行的所有元素之和。例如：

• A 的第 0 行和为 0+1+2+3=6，对应 C [0,:] 的所有元素。
• A 的第 1 行和为 4+5+6+7=22，对应 C [1,:] 的所有元素。
• 以此类推。