[原]经营类游戏：由轴对齐矩形相交判定到判定菱形构成的平行四边形相交判定（一）
普通多边形之间的相交测试是个复杂的问题，我们只考虑 轴对齐的 菱形问题即菱形的对角线和坐标轴平行的相交问题。
和坐标轴平行的矩形的相交问题：
矩形A B由左上角定点和右下角定点描述， x轴正方向右， y正方向 向下。
图1
设：A的左上定点 x0y0, 右下 x1 y1 B 左上 x2 y2 右下 x3 y3
二维问题一般降维度处理：
有 如果两个矩形 在 x轴y轴投影都相交， 则两个矩形相交
即： x0 < x3 && x2 < x1 && y0 < y3 && y2 < y1
因为两个坐标轴上的相交区域唯一确定一个 矩形
具体的矩形 范围受 坐标的实际大小关系确定
现在我们需要考虑菱形的问题：
菱形的轴是倾斜的， 那么如何求轴上的投影范围， 来进行相交测试呢？
图2
好吧，这样计算的确有些困难， 我们参见图1， 可以有个思路， 首先确定一个菱形的包围盒， 任意一个菱形都有唯一的轴对称包围盒。
设一个菱形的坐标轴x方向宽度 2* sizeX, 坐标轴y方向 2* sizeY
考虑：以下三种情况
我们需要求得这些菱形组合的包围盒的大小：
设从左上到右下的为菱形的 轴x方向， 从 右上到坐下 为 菱形轴y方向, sx 为x向 菱形的个数， sy 为y方向个数
情况1：
除了第一个菱形块之外， 其它菱形块每增加一个宽度增加一个sizeX 高度增加 一个 sizeY
宽度 = (2+sy-1)*sizeX (sizeX是单个菱形宽度的一半)
高度=(2+sy-1)*sizeY (sizeY 是单个菱形高度的一半)
情况2：(最下面的那个)
宽度 = (2+sx-1)*sizeX
高度=(2+sx-1) *sizeY
最后的复杂情况：
先考虑 沿x 方向的 值， 再加上 y方向的值
宽度 = (2+sx-1 + sy-1)*sizeX
高度 = (2+sx-1 + sy-1)*sizeY
实际上简化之后：
宽度 = (sx+sy)*sizeX
高度 = (sx+sy)*sizeY
这些拼接图形的中点 ， 就是他们 包围盒的中点？
可以做上辅助线。 我们根据平线线的分割原理就可以证明
下一个问题是求得这个拼接图形的四个定点的位置； 首先我们需要假定 坐标轴的 0，0点在包围盒的左上角， x向右 ，y向下
上图就是四个顶点的所在位置的值。
最后如何判定相交？
考虑倾斜的轴构成的坐标系：
求一个点在这两个轴上的投影长度 ， 可以采用内积：
x轴向： (sizeX, sizeY)
y轴向：(-sizeX, sizeY)
t1 = (x, y) *(sizeX, sizeY)/ ( |(x, y)|)
t2 = (x, y)*(-sizeX, sizeY) /|(x, y)|
所以向判断 矩形一样判断 t1 t2的范围就可以了
下面是pyhon代码：
import math
sizeX = 135/4
sizeY = 67/4
#菱形拼图的x y 长度 和 中心位置
ab = sx1, sy1, x1, y1 = 2, 2, 0, 0
bb = sx2, sy2, x2, y2 = 2, 2, -40, 20
#求得一个拼图的左上角点和右下角点
def getBoundary(arg):
sx, sy, x, y = arg
x0 = x - (sx+sy)/2*sizeX
y0 = y - (sx+sy)/2*sizeY
x1 = x0 + sy*sizeX
y1 = y0
x2 = x0 + sx*sizeX
y2 = y0 + (sx+sy)*sizeY
print [x0, y0, x1, y1, x2, y2, sizeX, sizeY]
return [x1, y1, x2, y2]
#求得一个点在x方向的投影
def getT1(x, y):
if x == 0 and y == 0:
return 0
return (x*sizeX+y*-sizeY)/math.sqrt(x*x+y*y)/math.sqrt(sizeX*sizeX+sizeY*sizeY)
#求得一个点在y方向的投影
def getT2(x, y):
if x == 0 and y == 0:
return 0
return (x*-sizeX+y*-sizeY)/math.sqrt(x*x+y*y)/math.sqrt(sizeX*sizeX+sizeY*sizeY)
def getABound(a):
a = getBoundary(a)
t1 = getT1(a[0], a[1])
t2 = getT2(a[0], a[1])
t11 = getT1(a[2], a[3])
t22 = getT2(a[2], a[3])
print [a, t1, t2, t11, t22]
return [t1, t2, t11, t22]
def main():
aBound = getABound(ab)
bBound = getABound(bb)
print aBound
print bBound
main()
错了：
不能通过 求内积来求 点在菱形边上的投影， 只有当菱形的边互相垂直的时候才成立；
这是因为 非直角 不是 普通的几何。
那么该怎么办呢？ 如何计算相交？
这个我 再想想
如果我们约束 所有的菱形拼图都是 n*n的话， 存在一种解法：
可以计算两个拼图中心的 x y 差值
再根据 拼图的 边的宽度 = sx*sizeX, sx*sizeY
只要保证两个拼图的 x ， y 差值 不 小于 边的宽度 就可以了
拼图中心相差的 x y 方向的格子数目， abs(difx)+abs(dify) >= boundA + boundB 则不相交
