#2019121000025-LGTD
T112394 分金币
题目描述
圆桌周围坐了\(n\)个人，每个人有一定数量的金币，金币的总数保证是\(n\)的倍数，每个人可以向左或向右给出一些金币，使得最终每个人的金币数相等。你的任务是求出被转移了的金币的总数。
比如，\(n=4\)时，如果四个人的金币数是\(1,2,5,4\)，则转移4枚金币（第3个人给第2个人2枚，第2个人和第4个人分别给第1个人1枚金币）即可达到目的。
输入格式
包含多组数据。第一行是测试组数\(T\)，接下来每组数据第一行为一个整数\(n\)，以下\(n\)行每行为一个整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。
输出格式
对于每组数据，输出被转手金币数量的最小值，输入保证这个值不超过64位无符号整数范围。
输入输出样例
输入
2
3
100
100
100
4
1
2
5
4
输出
0
4
说明/提示
\(1\leq T \leq 10, n\leq 10^6\)
标程时间复杂度：\(O(Tnlogn)\)
题解
对于在座的\(n\)个人，记每个人现在拥有的金币数是\(A_i(i\in [1,n])\)，则金币总数\(s=\sum^{n}_{i=1}A_i\)，每个人最终得到的金币数$$y=\frac{s}{n}$$
如果1号给2号1枚，而2号给1号2枚，就相当于2号给1号1枚，所以我们用\(x_2\)表示2号给1号了多少金币，特别地，如果\(x_2<0\)，实际上是1号给2号\(-x_2\)枚金币。注意，由于是环形，所以\(x_1\)表示1号给\(n\)号了几枚金币。
如果有四个人，依次编号\(1,2,3,4\)，对于1号来说，他给了4号\(x_1\)枚金币，但是2号又给了他\(x_2\)枚，我们最终得到1号最终的金币数$$y=A_1-x_1+x_2$$
同理，对于第2个人，有\(y=A_2-x_2+x_3\)，我们一共得到了\(n\)个方程，很可惜，我们不能解，因为前\(n-1\)个式子能推导出第\(n\)个，所以只有\(n-1\)个式子是有用的。
尽管这样，我们还是想用\(x_1\)来表示其他的\(x_i\)，有：对于第1个人，\(A_1-x_1+x_2=y\)，于是$$x_2=y-A_1+x_1=x_1-C_1$$
其中我们规定：$$C_i=A_i-y$$则\(C_1=A_1-y\)
对于第2个人，\(A_2-x_2+x_3=y\)，于是$$x_3=y-A_2+x_2=2y-A_1-A_2+x_1=x_1-C_2$$
对于第2个人，\(A_3-x_3+x_4=y\)，于是$$x_4=y-A_3+x_3=3y-A_1-A_2-A_3+x_1=x_1-C_3$$
如此推导下去，我们可以得到若干等式。我们的目的是计算所有\(x_i\)的绝对值之和最小，即：$$(|x_1|+|x_1-C_1|+|x_1-C_2|+...+|x_1-C_{n-1}|)_{\min}$$
注意\(|x_i-C_i|\)的几何意义是数轴上点\(x_i\)到\(C_i\)的距离，问题变成了：给定数轴上的\(n\)个点，求一个到他们的距离之和尽量小的点。
结论是：这个点是这\(n\)个数的中位数。所以只需排序即可。严谨的证明如下：
在数轴上标出这\(n\)个点，假定数轴上标好了六个点，从左到右编号\(C_i(i\in \{1,2,3,4,5,6\})\)，如果选定\(C_4,C_5\)之间的一点\(P\)，之后把这个点向左（或者向右，效果相同，假定向左）\(D\)个单位长度，则\(P'\)到它左边的四个点距离减少了\(4D\)，到右边的两个点距离增加了\(2D\)，总的来说距离减小了\(2D\)。
通过这样的移动，发现在奇数个数构成的数列，满足条件的数是最中间的数，而偶数个数构成的数列是最中间两个数的平均数，得证。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=1000000+10;
long long A[maxn],C[maxn],tot,M;
int T;
int n;
int main(){
//freopen("coin10.in","r",stdin);
//freopen("coin10.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
tot=0;
memset(A,0,sizeof(A));
memset(C,0,sizeof(C));
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&A[i]);
tot+=A[i];
}
M=tot/n;
C[0]=0;
for(int i=1;i<n;i++){
C[i]=C[i-1]+A[i]-M;
}
sort(C,C+n);
long long x1=C[n/2],ans=0;
for(int i=0;i<n;i++){
ans+=abs(x1-C[i]);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
