数据结构-树

树：
     n（n≥0）个结点构成的有限集合
     
     性质：
        树中有一个称为“根（Root）”的特殊结点，用 r 表示
        其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1，T2，... ，Tm，其 中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的“子树（SubTree）” 
        子树是不相交的
        除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
        一棵N个结点的树有N-1条边。 
        
    树的基本术语：
        1. 结点的度（Degree）：结点的子树个数 
        2. 树的度：树的所有结点中最大的度数 
        3. 叶结点（Leaf）：度为0的结点 
        4. 父结点（Parent）：有子树的结点是其子树 的根结点的父结点 
        5. 子结点（Child）：若A结点是B结点的父结 点，则称B结点是A结点的子结点；子结点也 称孩子结点。 
        6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各 结点彼此是兄弟结点。 
        7. 路径和路径长度：从结点n1到nk的路径为一 个结点序列n1 , n2 ,… , nk , ni是 ni+1的父结 点。路径所包含边的个数为路径的长度。 
        9.  祖先结点(Ancestor)：沿树根到某一结点路 径上的所有结点都是这个结点的祖先结点。 
        10.  子孙结点(Descendant)：某一结点的子树 中的所有结点是这个结点的子孙。 
        11. 结点的层次（Level）：规定根结点在1层， 其它任一结点的层数是其父结点的层数加1。 
        12. 树的深度（Depth）：树中所有结点中的最 大层次是这棵树的深度。 
        
    使用儿子-兄弟表示发可以使用二叉树表示度大于2的树

    
二叉树：
    二叉树T：一个有穷的结点集合。 
    这个集合可以为空       
    若不为空，则它是由根结点和称为其左子树TL和右子树TR的 两个不相交的二叉树组成。     
        
    二叉树的子树有左右顺序之分     
    
    特殊二叉树：
        斜二叉树
        完美二叉树 /满二叉树
        完全二叉树：有n个结点的二叉树，对树中结点按 从上至下、从左到右顺序进行编号， 编号为i（1 ≤ i ≤ n）结点与满二叉树 中编号为 i 结点在二叉树中位置相同 
    
    二叉树的几个重要性质：
        一个二叉树第 i 层的最大结点数为： 2^(i-1)，i>=1。
         深度为k的二叉树有最大结点总数为： 2^(k-1)，k>=1。 
        对任何非空二叉树 T，若n0表示叶结点的个数、n2是 度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0 = n2 +1。 
    
    二叉树的抽象数据类型定义 :
        类型名称：二叉树 数据对象集：一个有穷的结点集合。      若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。 
 
        操作集： BT BinTree, Item  ElementType，重要操作有： 
        1、Boolean IsEmpty( BinTree BT )： 判别BT是否为空； 
        2、void Traversal( BinTree BT )：遍历，按某顺序访问每个结点； 
        3、BinTree CreatBinTree( )：创建一个二叉树。

    二叉树的遍历：
        先序----根、左子树、右子树； 
        中序---左子树、根、右子树； 
        后序---左子树、右子树、根 
        层次遍历，从上到下、从左到右 
        
    二叉树的存储结构：
        1.顺序存储结构：
            完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存
    
            一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费…… 
        
        2.链表存储 
            每个节点包含三个域：
                data:保存节点的值
                left:指针，指向左儿子
                right:指针，指向右儿子
                
                
    二叉树的遍历：    
        递归遍历：
            先序
            void PreOrderTraversal( BinTree BT ) {     
                if( BT ) {         
                    printf(“%d”, BT->Data);         
                    PreOrderTraversal( BT->Left );         
                    PreOrderTraversal( BT->Right );     
                } 
            } 
            中序
            void PreOrderTraversal( BinTree BT ) {     
                if( BT ) {      
                    PreOrderTraversal( BT->Left );                        
                    printf(“%d”, BT->Data);                
                    PreOrderTraversal( BT->Right );     
                } 
            } 
            后序
            void PreOrderTraversal( BinTree BT ) {     
                if( BT ) {      
                    PreOrderTraversal( BT->Left );                                      
                    PreOrderTraversal( BT->Right );    
                    printf(“%d”, BT->Data);  
                } 
            } 
    
        非递归遍历：
            中序遍历非递归遍历算法 ：
                遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树； 
                当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它
                然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树。 
                void InOrderTraversal( BinTree BT ) {  
                    BinTree T=BT; 
                    Stack S = CreatStack( MaxSize ); /*创建并初始化堆栈S*/ 
                    while( T || !IsEmpty(S) ){     
                        while(T){   /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/         
                            Push(S,T);          
                            T = T->Left;      
                        }     
                        if(!IsEmpty(S)){         
                            T = Pop(S); /*结点弹出堆栈*/         
                            printf(“%5d”, T->Data); /*（访问）打印结点*/         
                            T = T->Right; /*转向右子树*/     
                        } 
                    } 
                }     
            先序遍历非递归遍历算法 ：
                void InOrderTraversal( BinTree BT ) {  
                    BinTree T=BT; 
                    Stack S = CreatStack( MaxSize ); /*创建并初始化堆栈S*/ 
                    while( T || !IsEmpty(S) ){     
                        while(T){   /*一直向左并将沿途结点压入堆栈*/  
                            printf(“%5d”, T->Data); /*（访问）打印结点*/         //就移动了这一行
                            Push(S,T);          
                            T = T->Left;      
                        }     
                        if(!IsEmpty(S)){         
                            T = Pop(S); /*结点弹出堆栈*/         
                            T = T->Right; /*转向右子树*/     
                        } 
                    } 
                }     
    
            层序遍历 
                队列实现：遍历从根结点开始，首先将根结点入队，然后开始执 行循环：结点出队、访问该结点、其左右儿子入队
                
            
            先序和中序遍历序列或者后序和中序遍历序列来确定一棵二叉树 
            
二叉搜索树：
    也称二叉排序树或二叉查找树     
    二叉搜索树：一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：         
        非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。     
        非空右子树的所有键值大于其根结点的键值    
        左、右子树都是二叉搜索树。     
            
    二叉搜索树的查找：先和根节点比较，比根节点小则去左子树找，否则去右子树找，依次往下找知道找到指定的值
        最大元素一定是在树的最右分枝的端结点上     
        最小元素一定是在树的最左分枝的端结点上 
    二叉搜索树的插入 ：关键是要找到元素应该插入的位置，可以采用与Find类似的方法         
    二叉搜索树的删除，三种情况：
        1.要删除的是叶结点：直接删除，并再修改其父结点指针---置为NULL     
        2.要删除的结点只有一个孩子结点:将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点 
        3.要删除的结点有左、右两棵子树： 
            用另一结点替代被删除结点：右子树的最小元素 或者 左子树的最大元素