「Solution」1223330000组成只读一个零的十位数
这道数学题是我偶然间发现的：
1223330000组合成十位数，问：共有多少种组合方式可使组合出的十位数只读一个零.
这题不需要用到什么高级的数学技巧，但是需要大量分类和枚举，于是，我想到了编程解决这一问题。
语言上我选择的是Python，另外，我的编程环境为PyCharm。
接下来，我们进入正文部分。
思路
我的思路是这样的：
遍历每一种组合情况，并对每一种情况进行检查，看是否符合题目中只读一个零的条件。
那么，这个程序就可以被分为两个部分：
1.遍历
2.检查
那么，我们开始逐步实现这一程序。
第一部分：遍历
我们需要用十个数字来组成十位数，这种情况下我们就要对每一个数位进行遍历，我们倒是可以用十个for循环嵌套在一起来实现，但是这显然会影响代码的可读性和美观，所以我们选择另外一种算法——递归。
什么是递归
如果对递归算法有所了解的，可以直接跳过这一部分。
递归算法，用一句话来解释就是：
递归：自己调用自己
专业一点叫做：
在函数的定义中使用函数自身的方法
为了各位读者更容易理解递归，我们来举一个简单的例子：
首先，定义一个数列，\(a_1=0\)，\(a_n=a_{n-1}+2(n\geq2)\)。
接下来，我们编程来实现，输入\(n\)，求\(a_n\)的值。
由于这是一个首项为0，公差为2的等差数列，我们可以这样写：
n = int(input("Enter n:"))
an = 2 * (n-1)
print(an)
当然，如果用到刚才讲到的递归，我们就可以这样写：
def a(term):
if term == 1:
return 0
elif term >= 2:
a(term - 1)
n = int(input("Enter n:"))
print(a(n))
这样写可能会有些复杂，但是这一程序很好的体现了递归算法，看到这里：
def a(term):
…
elif term >= 2:
a(term - 1)
这就是前面所提到的，”自己调用自己“。
那么，这一程序是如何运行的呢？
注意图中还标有两个词：”回推“和”递推“
用我的方式来解释这两个词就是：
回推：一层一层向下调用的过程
递推：一层一层向上返回值的过程
以上，就是我对递归算法一个简单的介绍，如果想对递归有更多、更深入的了解，可以前往知乎上查看其他大佬对递归的解释。
用递归来实现遍历
运用递归，我们的实现方式就应该是这样：递归时，每回推一次，通过for循环遍历一个数位的可能情况，当所有数位确定完成时，进行下一部分。
与此同时，我们就也确定出了我们的函数需要的两个参数：已确定的数位（numlist），还未使用的数字（unused）。
当然，由于这个程序没有返回值，也就没有递推的过程了。
结合以上的思路，我们的程序会是这样：
def recu(numlist, unused):
if len(numlist) < 10:
# 长度小于十，说明还未组成十位数
used = []
for addnum in unused:
snumlist = numlist[:]
sunused = unused[:]
snumlist.append(addnum)
sunused.remove(addnum)
if snumlist[0] != 0:
recu(snumlist, sunused)
elif len(numlist) == 10:
# 长度等于十，说明十位数已经组成，那么检查是否能够读零
…
当然，我们还需要注意一点，在题目给出的可选数字中，有大量的重复数字，如果我们的遍历部分就这样写，对于同一个数字组合方式，程序会计算\(A^2_2\times A^3_3\times A^4_4=288\)次，也就是说，程序给出答案的时长会多出整整288倍！
那么，我们要做的就是避免重复计算同一种情况，方法也很简单，每次遍历，检查addnum是否在列表used中，如果返回值为True，将addnum添加到列表used中。
修改后的程序会是这样：
def recu(numlist, unused):
if len(numlist) < 10:
# 长度小于十，说明还未组成十位数
used = []
for addnum in unused:
if addnum not in used:
used.append(addnum)
snumlist = numlist[:]
sunused = unused[:]
snumlist.append(addnum)
sunused.remove(addnum)
if snumlist[0] != 0:
recu(snumlist, sunused)
elif len(numlist) == 10:
# 长度等于十，说明十位数已经组成，那么检查是否能够读零
…
第二部分：检查
第二部分要做的工作是检查已组成的十位数是否符合”只读一个零“的条件。
并不是每一个数中的零都会被读出，那么，我们来梳理一下读零的规则：
- 处于每级末尾的零或由零组成的数串不会被读出「如：10 2300 3300」
- 处于数中部全部由零组成的数级，且前后数级不全是零的，会读一个零「如：12 0000 2333」
我们会发现，以上两条规则都是基于数级的，所以别的先抛开，我们要做的第一件事，就是将组成的十位数分级。
实现方式不难，我们先准备一个二维列表splitnum，用于存放被分级的十位数。
splitnum = [[], [], []]
然后，for循环遍历numlist，将每一个数字存放在最前面一个尚未存满的数级中（存满，即数级中已有四个数字）。
我的代码如下，**需要注意的是，我的这种方式分解出来的数字是倒序的，在之后的程序，不要忽略这一点，当然，你也可以使分解数字正续排列，可以遍历index，甚至可以这样写：splitnum = [[numlist[0], …], …]:
for i in range(0, len(numlist)):
for grade in splitnum:
if len(grade) < 4:
grade.append(numlist.pop())
break
结合读零规则的第一条，即”处于每级末尾的零或由零组成的数串不会被读出“，我们首先去掉处于每级末尾的零：
for grade in splitnum:
while True:
if grade[0] == 0 and len(grade) > 0:
del grade[0]
else:
break
注意这里的if grade[0] == 0 and len(grade) > 0，在检测第一项为0的同时，也保证不把整个数级删空，这可以避免IndexError，同时，也因为整个数级均由零构成，可能会读零。
做完以上工作后，剩下的处于数中的0数串就全部都会被读出了，所以，我们将三个数级连接起来，再检查里面有几个由零组成的数串即可：
for grade in splitnum:
# 将每一级连接起来
for num in grade:
check.append(num)
while True:
if check[0] == 0:
del check[0]
else:
break
# 将连在一起的零变为单独的一个零
zero = False
idx = 0
oldcheck = check[:]
for num in oldcheck:
if num == 0:
if zero:
del check[idx]
idx -= 1
if not zero:
zero = True
else:
zero = False
idx += 1
if check.count(0) == 1:
result += 1
完工
至此，我们程序的主要部分就已全部编写完成了，加以整理，即可编写出完整的程序！
最后附上带有注释的完整代码：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
题目：
1223330000组合成十位数，问：共有多少种组合方式可使组合出的十位数只读一个零.
"""
def recu(numlist, unused):
if len(numlist) < 10:
# 长度小于十，说明还未组成十位数
used = []
for addnum in unused:
if addnum not in used:
used.append(addnum)
snumlist = numlist[:]
sunused = unused[:]
snumlist.append(addnum)
sunused.remove(addnum)
if snumlist[0] != 0:
recu(snumlist, sunused)
elif len(numlist) == 10:
# 长度等于十，说明十位数已经组成，那么检查是否能够读零
print(numlist, end=' ')
global result
# 首先按级进行分割
splitnum = [[], [], []]
for i in range(0, len(numlist)):
for grade in splitnum:
if len(grade) < 4:
grade.append(numlist.pop())
break
# 对每一级进行检查，看是否读零
check = []
for grade in splitnum:
# 末尾的零不会读出，所以去掉末尾的零
while True:
if grade[0] == 0 and len(grade) > 1:
del grade[0]
else:
break
# 将每一级连接起来
for num in grade:
check.append(num)
while True:
if check[0] == 0:
del check[0]
else:
break
# 将连在一起的零变为单独的一个零
zero = False
idx = 0
oldcheck = check[:]
for num in oldcheck:
if num == 0:
if zero:
del check[idx]
idx -= 1
if not zero:
zero = True
else:
zero = False
idx += 1
print("check:", check, end=" ")
if check.count(0) == 1:
result += 1
print("PASS")
else:
print("NOT PASS")
else:
print("Error")
if __name__ == "__main__":
alternative = [1, 2, 2, 3, 3, 3, 0, 0, 0, 0]
result = 0
recu([], alternative)
print(result)
运行结果：
…
[3, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 3, 1, 2] check: [2, 1, 3, 2, 3, 0, 3] PASS
[3, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 3, 2, 1] check: [1, 2, 3, 2, 3, 0, 3] PASS
[3, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 1, 2, 2] check: [2, 2, 1, 3, 3, 0, 3] PASS
[3, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 2, 1, 2] check: [2, 1, 2, 3, 3, 0, 3] PASS
[3, 0, 0, 0, 0, 3, 3, 2, 2, 1] check: [1, 2, 2, 3, 3, 0, 3] PASS
2460
Process finished with exit code 0
所以，我们得出了这道题目的答案——2460。
