洛谷P2258 子矩阵

题目

如果暴力的话，时间复杂度是\(rcC(n, n/2)^2\)，主要考察搜索枚举行和列，并没有用到DP的思想。

考虑优化的话，发现枚举行或列中至少需要一步，因为这个题只能预处理优化，如果都不枚举，就相当于盲人摸象，无法预处理来优化。

因此要搜索枚举行或列，然后预处理并在列或行上跑DP，这样就可以少些枚举时间，多些转移时间。

这里我用了枚举行，预处理关于列上的数组，并在列上跑DP。

预处理和DP数组如下：
\(dp[i][j]\)表示前\(i\)列，已用\(j\)列得到的最小价值。

\(ver[i]\)表示对于\(i\)列的上下绝对值差的和，\(del[i][j]\)表示\(i\)列和\(j\)列左右差的和

状态转移方程：

$dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i-k][j-1]+ver[i]+del[i-k][i]); $

50pts:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n, m, r, c, dp1[109], dp2[109], a[19][19];
int ans = 0x7fffffff;
void Dp()
{
    int now = 0;
    for (int i = 1; i <= r; i++)
        for (int j = 2; j <= c; j++)
            now += abs(a[dp1[i]][dp2[j]] - a[dp1[i]][dp2[j-1]]);
    for (int i = 2; i <= r; i++)
        for (int j = 1; j <= c; j++)
            now += abs(a[dp1[i]][dp2[j]] - a[dp1[i-1]][dp2[j]]);
    ans = min(ans, now);
}
void dfs(int x, int y, int nr, int nc)
{
    if (nc == c + 1) 
    	return Dp();
    if ((x > n && nr != r + 1) || (y > m && nc != c + 1)) return;
    if (nr == r + 1)
	{//先枚举行，再枚举列 
        for (int i = y; i <= m; i++)
		{
            dp2[nc] = i;
            dfs(x, i + 1, nr, nc + 1);
        }
        return;
    }
	else 
        for (int i = x; i <= n; i++)
		{
            dp1[nr] = i;
            dfs(i + 1, y, nr + 1, nc);
        }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &c);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        	scanf("%d", &a[i][j]);
    dfs(1, 1, 1, 1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

100pts:

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n, m, r, c, ans = 2147483647;
int a[19][19], hang[19], dp[19][19];
int ver[19], del[19][19];//ver[i]表示对于i列的上下绝对值差的和，del[i][j]表示i列和j列左右差的和 
inline void Dp()
{			  
	memset(dp, 123, sizeof(dp));
	memset(ver, 0, sizeof(ver));
	memset(del, 0, sizeof(del));
	for (int i = 1; i <= m; i++)//枚举每一列i
		for (int j = 2; j <= r; j++) 
			ver[i] += abs(a[hang[j]][i] - a[hang[j - 1]][i]) ;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		for (int k = i + 1; k <= m; k++)
			for (int j = 1; j <= r; j++)
				del[i][k] += abs(a[hang[j]][k] - a[hang[j]][i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		dp[i][1] = ver[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		for (int j = 1; j <= c; j++)
			for (int k = 1; k < i && i - k >= j - 1; k++)
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - k][j - 1] + ver[i] + del[i - k][i]);
	for (int i = c; i <= m; i++)//从c行后取最小值 
		ans = min(ans, dp[i][c]); 
}		
void dfs(int now, int pos)
{
	if (now == r + 1)
	{
		Dp();
		return;
	}
	if (pos == n + 1) 
		return;
	for (int i = pos; i <= n; i++)
		hang[now] = i, dfs(now + 1, i + 1);
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &r, &c);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)	
			scanf("%d", &a[i][j]);
	dfs(1, 1);
	printf("%d", ans);
}