（转）图的存储结构|邻接矩阵、邻接表、十字链表、邻接多重表、边集数组
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7.4 图的存储结构
图的存储结构相较线性表与树来说就更加复杂了。首先，我们口头上说的“顶点的位置”或“邻接点的位置”只是一个相对的概念。其实从图的逻辑结构定义来看，图上任何一个顶点都可被看成是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。比如图7-4-1中的四张图，仔细观察发现，它们其实是同一个图，只不过顶点的位置不同，就造成了表象上不太一样的感觉。
图7-4-1
也正由于图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系，也就是说，图不可能用简单的顺序存储结构来表示。而多重链表的方式，即以一个数据域和多个指针域组成的结点表示图中的一个顶点，尽管可以实现图结构，但其实在树中，我们也已经讨论过，这是有问题的。如果各个顶点的度数相差很大，按度数最大的顶点设计结点结构会造成很多存储单元的浪费，而若按每个顶点自己的度数设计不同的顶点结构，又带来操作的不便。因此，对于图来说，如何对它实现物理存储是个难题，不过我们的前辈们已经解决了，现在我们来看前辈们提供的五种不同的存储结构。
7.4.1 邻接矩阵
考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成。合在一起比较困难，那就很自然地考虑到分两个结构来分别存储。顶点不分大小、主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维搞不定，那就考虑用一个二维数组来存储。于是我们的邻接矩阵的方案就诞生了。
图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：
我们来看一个实例，图7-4-2的左图就是一个无向图。
图7-4-2
我们可以设置两个数组，顶点数组为vertex[4]={v0, v1, v2, v3}，边数组arc[4][4]为图7-4-2右图这样的一个矩阵。简单解释一下，对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]，全为0是因为不存在顶点到自身的边，比如v0到v0。arc[0][1]=1是因为v0到v1的边存在，而arc[1][3]=0是因为v1到v3的边不存在。并且由于是无向图，v1到v3的边不存在，意味着v3到v1的边也不存在。所以无向图的边数组是一个对称矩阵。
嗯？对称矩阵是什么？忘记了不要紧，复习一下。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij=aji，（0≤i,j≤n）。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。
有了这个矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息。
1．我们要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了。
2．我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。比如顶点v1的度就是1+0+1+0=2。
3．求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点。
我们再来看一个有向图样例，如图7-4-3所示的左图。
图7-4-3
顶点数组为vertex[4]={v0, v1, v2, v3}，弧数组arc[4][4]为图7-4-3右图这样的一个矩阵。主对角线上数值依然为0。但因为是有向图，所以此矩阵并不对称，比如由v1到v0有弧，得到arc[1][0]=1，而v0到v1没有弧，因此arc[0][1]=0。
有向图讲究入度与出度，顶点v1的入度为1，正好是第v1列各数之和。顶点v1的出度为2，即第v1行的各数之和。
与无向图同样的办法，判断顶点vi到vj是否存在弧，只需要查找矩阵中arc[i][j]是否为1即可。要求vi的所有邻接点就是将矩阵第i行元素扫描一遍，查找arc[i][j]为1的顶点。
在图的术语中，我们提到了网的概念，也就是每条边上带有权的图叫做网。那么这些权值就需要存下来，如何处理这个矩阵来适应这个需求呢？我们有办法。
设图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵，定义为：
这里wij表示（vi,vj）或<vi,vj>上的权值。∞表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。有同学会问，为什么不是0呢？原因在于权值wij大多数情况下是正值，但个别时候可能就是0，甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。如图7-4-4左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。
图7-4-4
那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？我们先来看看图的邻接矩阵存储的结构，代码如下。
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
#define MAXVEX 100 /* 最大顶点数，应由用户定义 */
#define INFINITY 65535 /* 用65535来代表∞ */
typedef struct
{
VertexType vexs[MAXVEX]; /* 顶点表 */
EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX]; /* 邻接矩阵，可看作边表 */
int numVertexes, numEdges; /* 图中当前的顶点数和边数 */
}MGraph;
有了这个结构定义，我们构造一个图，其实就是给顶点表和边表输入数据的过程。我们来看看无向网图的创建代码。
从代码中也可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n+n2+e)，其中对邻接矩阵G.arc的初始化耗费了O(n2)的时间。
7.4.2 邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。比如说，如果我们要处理图7-4-5这样的稀疏有向图，邻接矩阵中除了arc[1][0]有权值外，没有其他弧，其实这些存储空间都浪费掉了。
图7-4-5
因此我们考虑另外一种存储结构方式。回忆我们在线性表时谈到，顺序存储结构就存在预先分配内存可能造成存储空间浪费的问题，于是引出了链式存储的结构。同样的，我们也可以考虑对边或弧使用链式存储的方式来避免空间浪费的问题。
再回忆我们在树中谈存储结构时，讲到了一种孩子表示法，将结点存入数组，并对结点的孩子进行链式存储，不管有多少孩子，也不会存在空间浪费问题。这个思路同样适用于图的存储。我们把这种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表（Adjacency List） 。
邻接表的处理办法是这样。
1．图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
2．图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。
例如图7-4-6所示的就是一个无向图的邻接表结构。
图7-4-6
从图中我们知道，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。比如v1顶点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex分别为v0的0和v2的2。
这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度，就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点vi到vj是否存在边，只需要测试顶点vi的边表中adjvex是否存在结点vj的下标j就行了。若求顶点的所有邻接点，其实就是对此顶点的边表进行遍历，得到的adjvex域对应的顶点就是邻接点。
若是有向图，邻接表结构是类似的，比如图7-4-7中第一幅图的邻接表就是第二幅图。但要注意的是有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点vi都建立一个链接为vi为弧头的表。如图7-4-7的第三幅图所示。
图7-4-7
此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可，如图7-4-8所示。
图7-4-8
有了这些结构的图，下面关于结点定义的代码就很好理解了。
typedef char VertexType; /* 顶点类型应由用户定义 */
typedef int EdgeType; /* 边上的权值类型应由用户定义 */
typedef struct EdgeNode /* 边表结点 */
{
int adjvex; /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
EdgeType weight; /* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
struct EdgeNode *next; /* 链域，指向下一个邻接点 */
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
VertexType data; /* 顶点域，存储顶点信息*/
EdgeNode *firstedge; /* 边表头指针 */
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges; /* 图中当前顶点数和边数 */
}GraphAdjList;
对于邻接表的创建，也就是顺理成章之事。无向图的邻接表创建代码如下。
这里加粗代码，是应用了我们在单链表创建中讲解到的头插法(3)，由于对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以在循环中，一次就针对i和j分别进行了插入。本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。
7.4.3 十字链表
记得看过一个创意，我非常喜欢。说的是在美国，晚上需要保安通过视频监控对如商场超市、码头仓库、办公写字楼等场所进行安保工作，如图7-4-9所示。值夜班代价总是比较大的，所以人员成本很高。我们国家的一位老兄在国内经常和美国的朋友视频聊天，但总为白天黑夜的时差苦恼，突然灵感一来，想到一个绝妙的点子。他创建一家公司，承接美国客户的视频监控任务，因为美国的黑夜就是中国的白天，利用互联网，他的员工白天上班就可以监控到美国仓库夜间的实际情况，如果发生了像火灾、偷盗这样的突发事件，及时电话到美国当地相关人员处理。由于利用了时差和人员成本的优势，这位老兄发了大财。这个创意让我们知道，充分利用现有的资源，正向思维、逆向思维、整合思维可以创造更大价值。
图7-4-9
那么对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才能知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况。有没有可能把邻接表与逆邻接表结合起来呢？答案是肯定的，就是把它们整合在一起。这就是我们现在要讲的有向图的一种存储方法：十字链表（Orthogonal List）。
我们重新定义顶点表结点结构如表7-4-1所示。
表7-4-1
其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。
重新定义的边表结点结构如表7-4-2所示。
表7-4-2
其中tailvex是指弧起点在顶点表的下标，headvex是指弧终点在顶点表中的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以再增加一个weight域来存储权值。
比如图7-4-10，顶点依然是存入一个一维数组{v0,v1,v2,v3}，实线箭头指针的图示完全与图7-4-7的邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以v0边表结点的headvex=3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所以headlink和taillink都是空。
图7-4-10
我们重点需要来解释虚线箭头的含义，它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此v0的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如图7-4-10右图中的①。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如图中的②。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如图中的③。顶点v2和v3也是同样有一个入边顶点，如图中④和⑤。
十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在了一起，这样既容易找到以vi为尾的弧，也容易找到以vi为头的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。而且它除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图的应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。
7.4.4 邻接多重表
讲了有向图的优化存储结构，对于无向图的邻接表，有没有问题呢？如果我们在无向图的应用中，关注的重点是顶点，那么邻接表是不错的选择，但如果我们更关注边的操作，比如对已访问过的边做标记，删除某一条边等操作，那就意味着，需要找到这条边的两个边表结点进行操作，这其实还是比较麻烦的。比如图7-4-11，若要删除左图的（v0,v2）这条边，需要对邻接表结构中右边表的阴影两个结点进行删除操作，显然这是比较烦琐的。
图7-4-11
因此，我们也仿照十字链表的方式，对边表结点的结构进行一些改造，也许就可以避免刚才提到的问题。
重新定义的边表结点结构如表7-4-3所示。
表7-4-3
其中ivex和jvex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中下标。ilink指向依附顶点ivex的下一条边，jlink指向依附顶点jvex的下一条边。这就是邻接多重表结构。
我们来看结构示意图的绘制过程，理解了它是如何连线的，也就理解邻接多重表构造原理了。如图7-4-12所示，左图告诉我们它有4个顶点和5条边，显然，我们就应该先将4个顶点和5条边的边表结点画出来。由于是无向图，所以ivex是0、jvex是1还是反过来都是无所谓的，不过为了绘图方便，都将ivex值设置得与一旁的顶点下标相同。
图7-4-12
我们开始连线，如图7-4-13。首先连线的①②③④就是将顶点的firstedge指向一条边，顶点下标要与ivex的值相同，这很好理解。接着，由于顶点v0的（v0,v1）边的邻边有（v0,v3）和（v0,v2）。因此⑤⑥的连线就是满足指向下一条依附于顶点v0的边的目标，注意ilink指向的结点的jvex一定要和它本身的ivex的值相同。同样的道理，连线⑦就是指（v1,v0）这条边，它是相当于顶点v1指向（v1,v2）边后的下一条。v2有三条边依附，所以在③之后就有了⑧⑨。连线⑩的就是顶点v3在连线④之后的下一条边。左图一共有5条边，所以右图有10条连线，完全符合预期。
图7-4-13
到这里，大家应该可以明白，邻接多重表与邻接表的差别，仅仅是在于同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点。这样对边的操作就方便多了，若要删除左图的（v0,v2）这条边，只需要将右图的⑥⑨的链接指向改为∧即可。由于各种基本操作的实现也和邻接表是相似的，这里我们就不讲解代码了。
7.4.5 边集数组
边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成，如图7-4-14所示。显然边集数组关注的是边的集合，在边集数组中要查找一个顶点的度需要扫描整个边数组，效率并不高。因此它更适合对边依次进行处理的操作，而不适合对顶点相关的操作。关于边集数组的应用我们将在本章7.6.2节的克鲁斯卡尔（Kruskal）算法中有介绍，这里就不再详述了。
图7-4-14
定义的边数组结构如表7-4-4所示。
表7-4-4
其中begin是存储起点下标，end是存储终点下标，weight是存储权值。
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来源：稀土掘金
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