AcWing 734 能量石
\(AcWing\) \(734\). 能量石
一、题目描述
岩石怪物 杜达 生活在魔法森林中，他在午餐时收集了 \(N\) 块能量石准备开吃。
由于他的嘴很小，所以一次只能吃一块能量石。
能量石很硬，吃完需要花不少时间。
吃完第 \(i\) 块能量石需要花费的时间为 \(S_i\) 秒。
杜达靠吃能量石来获取能量。
不同的能量石包含的能量可能不同。
此外，能量石会随着时间流逝逐渐失去能量。
第 \(i\) 块能量石最初包含 \(E_i\) 单位的能量，并且每秒将失去 \(L_i\) 单位的能量。
当杜达开始吃一块能量石时，他就会立即获得该能量石所含的全部能量（无论实际吃完该石头需要多少时间）。
能量石中包含的能量最多降低至 \(0\)。
请问杜达通过吃能量石 可以获得的最大能量是多少？
输入格式
第一行包含整数 \(T\)，表示共有 \(T\) 组测试数据。
每组数据第一行包含整数 \(N\)，表示能量石的数量。
接下来 \(N\) 行，每行包含三个整数 \(S_i,E_i,L_i\)。
输出格式
每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
结果表示为 Case #x: y，其中 x 是组别编号（从 1 开始），y 是可以获得的最大能量值。
数据范围
\(1≤T≤10,1≤N≤100,1≤S_i≤100,1≤E_i≤10^5,0≤L_i≤10^5\)
输入样例：
3
4
20 10 1
5 30 5
100 30 1
5 80 60
3
10 4 1000
10 3 1000
10 8 1000
2
12 300 50
5 200 0
输出样例：
Case #1: 105
Case #2: 8
Case #3: 500
样例解释
在样例＃\(1\)中，有 \(N=4\) 个宝石。杜达可以选择的一个吃石头顺序是：
- 吃第四块石头。这需要 \(5\) 秒，并给他 \(80\) 单位的能量。
- 吃第二块石头。这需要 \(5\) 秒，并给他 \(5\) 单位的能量（第二块石头开始时具有 \(30\) 单位能量，\(5\) 秒后失去了 \(25\) 单位的能量）。
- 吃第三块石头。这需要 \(100\) 秒，并给他 \(20\) 单位的能量（第三块石头开始时具有 \(30\) 单位能量，\(10\) 秒后失去了 \(10\) 单位的能量）。
- 吃第一块石头。这需要 \(20\) 秒，并给他 \(0\) 单位的能量（第一块石头以 \(10\) 单位能量开始，\(110\) 秒后已经失去了所有的能量）。
他一共获得了 \(105\) 单位的能量，这是能获得的最大值，所以答案是 \(105\)。
在样本案例＃\(2\)中，有 \(N=3\) 个宝石。
无论杜达选择吃哪块石头，剩下的两个石头的能量都会耗光。
所以他应该吃第三块石头，给他提供 \(8\) 单位的能量。
在样本案例＃\(3\)中，有 \(N=2\) 个宝石。杜达可以：
- 吃第一块石头。这需要\(12\) 秒，并给他 \(300\) 单位的能量。
- 吃第二块石头。这需要 \(5\) 秒，并给他 \(200\) 单位的能量（第二块石头随着时间的推移不会失去任何能量！）。
所以答案是 \(500\)。
二、贪心（微扰）
1、贪心+\(DP\)
此题与普通的\(01\)背包是不同的，\(01\)背包不强调 每个物品的顺序，但本题物品在前和在后是不一样的问题：因为能量石会 逐渐失去能量！，随着时间的进行， 不同的摆放顺序会造成结果不同！
2、集合角度思考
求某个集合的最优解，求所有不同的吃法的最优解。这里的不同有两个维度:
- 按什么样的顺序吃
- 选择吃哪些能量石
本身是 两维变化 ，不好做，哪些，顺序都需要关注，所以从题目中挖掘了一些性质，通过 贪心 简化后，再去动态规划。
3、思考过程
为何要先进行贪心呢，或者说贪心的必要性是什么？
其 实你有 耍 国王游戏, 耍杂技的牛 的训练，你就会明白，其实顺序很重要，按什么样的顺序来进行枚举，这需要用 微扰法 证明出一个表达式，有了顺序后，就简单了。
4、贪心微扰（邻项交换）证法
例题：
假定当前所选的能量石为\(k\)个，考虑怎样的排列是最优的。
对于任一排列$$\LARGE a_1,a_2,a_3,…a_k$$
考虑任意 相邻两项 \(\LARGE a_i,a_{i+1}\),其交换后，不影响其他能量石的收益
假定收集完第\(i−1\)块能量石时是第\(k\)秒 ，考虑交换前和交换后的收益：令\(j=i+1\)以方便下面的书写:
交换前：
解释:
- \(E_i\):吃掉第\(i\)个能量石，立刻获取到\(E_i\)个能量
- \(-kL_i\):从开始到吃到第\(i\)个时，经过了\(k\)秒，那么，第\(i\)件能量石已经消耗掉了\(k \times L_i\)
- \(E_j\):吃掉第\(i+1\)个能量石，立刻获取到\(E_j\)个能量
- \(-(k+S_i)\times L_j\):在吃第\(i+1\)个之前，又经历了一个\(i\)号能量石，多等待了\(S_i\)秒，总的时长就是\(k+S_i\),再剩以第\(i+1\)个能量石的能量损耗速度\(L_j\),就是第\(i+1\)号能量石的损耗能量。
交换后：
如果原方案最佳，则有 ① >= ②
三、\(01\)背包
背包问题有三种形态：至多/恰好/至少 ,本题是哪种呢？
因为在不同时刻吃所能吸收的能量是不同的，而且每块能量石从最开始就在损失能量。所以能量的价值和时间是相关的，如果剩余空间长大，未必就一定划算，这就说明剩余空间需要一个精确值，而不能表示一个范围，所以是 恰好。
-
占用的空间：\(q[i].s\)
-
获得的价值:\(max(0, q[i].e - (j - q[i].s) * q[i].l)\) (\(j\)为当前花费时长)。
状态表示
\(f[j]\) : 当前 恰好 花\(j\)时间得到的最大能量
状态转移方程
\(f[j] = max(f[j], f[j - q[i].s] + max(0, q[i].e - (j - q[i].s) * q[i].l))\)
由于我们背包放物品（宝石）的顺序是坐标从\(1\)到\(n\)的，所以一定能枚举到最优解。
初始状态：\(f[0]=0\)，其余为负无穷(因为是求最大值)
答案：\(max(f[i])\)
四、二维版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n;
struct Node {
int s; // 吃掉这块能量石需要花费的时间为s秒
int e; // 获得e个能量
int l; // 不吃的话，每秒失去l个能量
const bool operator<(const Node &b) const {
return s * b.l < b.s * l; // 结构体对比函数
}
} q[N]; // 能量石的数组
int f[N][M];
int idx; // 输出是第几轮的测试数据
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &n);
int m = 0; // 能量视为体积
int res = 0; // 记录最大值
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d %d", &q[i].s, &q[i].e, &q[i].l);
m += q[i].s; // 极限容量，做为背包的上限
}
// 排序
sort(q + 1, q + 1 + n);
// 每次清空状态数组
memset(f, 0, sizeof f);
// 二维01背包
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int l = q[i].l, s = q[i].s, e = q[i].e;
for (int j = 0; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 如果不要物品i
if (j >= s) // 如果可以要物品i
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - s] + max(0, e - (j - s) * l));
res = max(res, f[i][j]);
}
}
cout << "Case #" << ++idx << ": " << res << endl;
}
return 0;
}
五、一维版本
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110; // 能量石个数上限
const int M = 10010; // 能量上限
// 用来描述每个能量石的结构体
struct Node {
int s; // 吃掉这块能量石需要花费的时间为s秒
int e; // 可以获利e个能量
int l; // 不吃的话，每秒失去l个能量
} q[N]; // 能量石的数组
// 结构体对比函数
bool cmp(const Node &a, const Node &b) {
return a.s * b.l < b.s * a.l;
}
int n; // 能量石的数量
int f[M]; // f[i]:花i个时间得到的最大能量
int idx; // 输出是第几轮的测试数据
int main() {
// T组测试数据
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
// 初始化为负无穷,预求最大，先设最小
memset(f, -0x3f, sizeof f);
scanf("%d", &n);
// 总时长,背包容量
int m = 0;
int res = 0;
// 读入数据
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d %d", &q[i].s, &q[i].e, &q[i].l);
m += q[i].s;
}
// 贪心排序
sort(q + 1, q + 1 + n, cmp);
// 01背包,注意恰好装满时的状态转移方程的写法
// 不能是至多j,而是恰好j
// 这是因为如果时间越长，不见得获取的能量越多，因为能量石会损耗掉
// 恰好的，最终需要在所有可能的位置去遍历一次找出最大值
// 每次清空状态数组
memset(f, 0, sizeof f);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int e = q[i].e, s = q[i].s, l = q[i].l;
for (int j = m; j >= s; j--) {
int w = e - (j - s) * l;
f[j] = max(f[j], f[j - s] + w);
res = max(res, f[j]);
}
}
printf("Case #%d: %d\n", ++idx, res);
}
return 0;
}
