AcWing 278. 数字组合
\(AcWing\) \(278\). 数字组合
一、题目描述
给定 \(N\) 个正整数 \(A_1,A_2,…,A_N\)，从中选出若干个数，使它们的和为 \(M\)，求有多少种选择方案。
输入格式
第一行包含两个整数 \(N\)和 \(M\)。
第二行包含 \(N\)个整数，表示 \(A_1,A_2,…,A_N\)。
输出格式
包含一个整数，表示可选方案数。
数据范围
\(1≤N≤100,1≤M≤10000,1≤A_i≤1000\),答案保证在 \(int\) 范围内。
输入样例：
4 4
1 1 2 2
输出样例：
3
二、\(01\)背包求解恰好装满方案数
分析
对于本题我们可以把每个 正整数 看作是一个 物品
正整数 的值就是 物品 的 体积
我们方案选择的 目标 是最终 体积 恰好为 \(m\) 时的 方案数
于是本题就变成了 \(01\)背包求解方案数 的问题了
状态表示
\(f[i][j]:\)考虑前\(i\)个数，当前总和 恰好 为\(j\)时，方案数量是多少。
状态转移
- 不选\(i\)：\(\large f[i][j] += f[i-1][j]\)
- 选 \(i\)： \(\large f[i][j] += f[i-1][j-v[i]]\)
初始状态：
f[i][0]=1
解释：不管你让我从多少个物品中选择，只要是背包容量是\(0\),那么方案就只有\(1\)种，就是，啥都不要。
目标状态
f[n][m]
时间复杂度
\(O(n×m)\)
三、二维代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n, m;
int v;
int f[N][M];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; // base case
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> v;
for (int j = 1; j <= m; j++) {
// 从前i-1个物品中选择，装满j这么大的空间，假设方案数是5个
// 那么，在前i个物品中选择，装满j这么大的空间，方案数最少也是5个
// 如果第i个物品，可以选择，那么可能使得最终的选择方案数增加
f[i][j] = f[i - 1][j];
// 增加多少呢？前序依赖是：f[i - 1][j - v]
if (j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
}
}
// 输出结果
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}
四、一维代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10010;
int n, m;
int v;
int f[N]; // 在前i个物品，体积是j的情况下，恰好装满的方案数
int main() {
cin >> n >> m;
// 体积恰好j, f[0]=1, 其余是0
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> v;
for (int j = m; j >= v; j--)
f[j] += f[j - v];
}
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}
五、常见问题
\(Q:\)如果讨论的不是数量，而是最大价值，有什么区别呢？
\(A:\)我们可以将结论推广到不同属性的情况下，本题的属性是数量，但如果是最大价值呢？
我们不难得到需要将\(f[0]\)初始化为\(0\)，\(f[1\sim n]\)初始化为负无穷
为什么要这样设置呢？因为每一个新状态，都需要知道它可以从哪些旧状态转移而来，如果上一个状态是合法的，那么有可能从上一个状态转移而来，但如何标识上一个状态是不是合法呢？比如如果初始化状态值是\(0\)，并且上一个状态是\(0\),表示的是目前的最大值，那是不是合法呢？不好说啊，为什么呢？
- 上一个状态不合法，没有状态转移过来
- 上一个状态合法，因为有负数等原因，造成最大值确实为\(0\)
这就很难办的，是吧。搞不清楚上一个状态是不是合法，我就没法决策是不是可以从它转移过来，我必须想办法对合法与不合法状态进行区分，是吧？
办法就是初始化为\(-INF\),再转移啥负值，也不可能小于\(-INF\),所以，很容易就区分开了是不是正常合法状态，还是从来就没有到达过的不合法状态。
