质数判断与质数筛法

1、质数判断

bool isPrime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= n / i; i++)
        if (n % i == 0) return false;
    return true;
}

2、埃拉筛

const int N = 1e5 + 10;
int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];             // st[x]存储x是否被筛掉

void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;   //记录素数
            for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) //成倍数的标识
                st[j] = true;
        }
}

3、欧拉筛

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];             // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

代码解析：
如果\(i\%primes[j]==0\)成立,那么\(i\)一定是一个合数,可以把\(i\)分解成\(a*b\)的形式,
并且\(a,b\)中有一个数一定是质数（唯一分解定理）.则有\(i*primes[j]=a*b*primes[j]\),
假设\(a\)是\(i*primes[j]\)的最小质因子,那么遍历到\(b*primes[j]\)时,一定能把\(i*primes[j]\)标记成合数,此时\(a\)是\(i*primes[j]\)的最小质数,所以在遇到\(i\)的时候直接跳出即可。

举个栗子：\(i = 8 ，j = 0\)，\(prime[j] = 2\)，此轮会把\(i*primes[j]=8*2=16\) 筛掉， 如果不跳出循环，\(primes[j+1] = 3\)，\(8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12\)，它会还要去筛掉\(24\),而\(24\)在\(i = 12\)时会筛掉（最小质数因子筛掉思想！）,这样就有重复了，不行！！

为什么\(if(i\%primes[j]==0) break\);在\(is\_prime[i*primes[j]]=false\);的后面呢?
此时是因为,我们遍历到的第一个素因子其实是\(2\),这个素因子是最小的,
所以第一次的时候\(i*primes[j]\)一定是被它最小的素因子筛去的.

4、分解质因数

void divide(int x) {
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) //到sqrt就够了
        if (x % i == 0) {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s++;
            cout << i << ' ' << s << endl;
        }
    //如果还没有除开，就是还需要写一个
    if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
    cout << endl;
}