编程学习笔记(LeetCode-509.斐波那契数)

编程学习笔记(LeetCode-509.斐波那契数)

<509> 斐波那契数列

• 问题重述：
  已知：

\[F(n)= \begin{cases} 0,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; n=0;\\ 1,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; n=1;\\ F(n-1)+F(n-2),\qquad n>1,n \in{}N^*;\\ \end{cases} \]

求：\(F(n)\)
其中：\(0\leqslant n \leqslant 30\)

方法一：动态规划+滚动数组

斐波那契数的边界条件是 F(0)=0 和 F(1)=1。当 n>1 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)

由于 F(n) 只与 F(n-1) 和 F(n-2) 有关，那么就可以采用滚动数组的思想实现：

图1.509.1 滚动数组

C++代码实现：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n<2){return n;}
        //cur表示当前计算结果，n1和n2表示 n-1， n-2
        int cur, n1, n2;
        cur = 1;
        n1 =  1;
        n2 =  0;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            int temp = n1;
            n2 = n1;
            n1 = cur;
            cur = n1 + n2;
        }
        return cur;
    }
};

方法二：使用通项公式

斐波那契数列 \(F(n)\) 是齐次性递推，根据递推方程:

\[F(n) = F(n-1) + F(n-2) \]

可以写出这样的特征方程：

\[x^2=x+1 \]

求得 \(x_1= \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ，\(x_2= \frac{1-\sqrt{5}}{2}\) 。设通解为 \(F(n)=c_1x_1^n+c_2x_2^n\) ，代入初始条件\(F(0)=0\) ， \(F(1)=1\) ，得 \(c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\) ， \(c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\) 。因此斐波那契数列的通项公式如下：

\[F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] \]

得到通项公式公式后，就可以通过公式直接求解第 \(n\) 项。

• C++代码实现如下：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        double sqrt5 = sqrt(5);
        double fibN = pow((1 + sqrt5) / 2, n) - pow((1 - sqrt5) / 2, n);
        return round(fibN / sqrt5);
    }
};

• 注： 代码中使用的 pow 函数的时空复杂度与CPU支持的指令集相关。

备注： 摘录自LeetCode官方题目解析。