计数技术相关

组合数相关

• 定义：\(C_n^k\) 为 \(n\) 个 有标号 物品中选择 \(k\) 个的方案数。

• 公式：\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}\)（可 \(O(V)\) 时间复杂度求出 \(n, k \le V\) 的组合数）

• 基本性质：

  • \(C_n^i = C_n^{n - i}\)

  • \(\sum_{i = 0}^n C_n^i = 2^n, \sum_{i = 0}^n {(-1)^n C_n^i} = 0\)

  • \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} \times \frac{n}{k}\)

• \(\rm Pascal\) 恒等式：

  • \(C_n^k = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k - 1}\)

  • Proof: 通过代数推导肯定可以证明，但是组合意义是什么呢？稍微思考可以想到这个相当于枚举第 \(n\) 个物品选或不选。

  常用于 \(O(V^2)\) 递推求组合数。

• 朱世杰恒等式：

  • \(\sum_{i = 0}^m {C_{n + i}^n} = C_{n + m + 1}^{n + 1}\)

  • Proof: 还是考虑组合意义上的证明，考虑有 \(n + m + 1\) 物品排成一排，枚举选择的物品的最后一个位置，然后在前面选 \(n\) 个物品的方案数。这等价于直接在物品中选择 \(n + 1\) 物品的方案数。

• \(\rm Vandermonde\) 恒等式：

  • \(C_n^{a+b} = \sum_{i = 0}^n C_{n - i}^a \times C_i^b\)

  • Proof: 考虑组合意义，可以将物品分成 \(a, b\) 两堆，然后枚举 \(a\) 堆的个数，然后等价于两个堆合并取物品的个数。

第一类 Strling 数

第二类 Strling 数