关于 mex

最近偶遇一堆 \(\rm mex\) 题，记一些常见结论。

• 求区间 \(\rm mex\)

首先有一个不好的莫队文明，点名批评一下，拓展性不好且难写且离线且跑的巨慢。

下面有两个求法：

1. 可持久化值域线段树

其实就是主席树求法啦，但是为了区分做法 \(2\)，强调值域。首先考虑转化问题，一个数 \(x\) 在区间 \([l, r]\) 中出现当且仅当 \(lst_{r, x} \ge l\)。建出值域线段树并可持久化来维护 \(lst\) 数组，于是求 \(\rm mex\) 相当于在线段树上二分。码量很小。

例题：P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

qwq

    #define mid (l + r >> 1)
    struct node{
        int ls, rs, lst; 
    }hjt[N << 5];
    int cnt, root[N];
    void pushup(int o){hjt[o].lst = min(hjt[hjt[o].ls].lst, hjt[hjt[o].rs].lst);}
    void add(int pre, int& o, int l, int r, int x, int k){
    	hjt[++cnt] = hjt[pre]; o = cnt;
        if(l == r){hjt[o].lst = k; return;}
        if(x <= mid) add(hjt[pre].ls, hjt[o].ls, l, mid, x, k);
        else add(hjt[pre].rs, hjt[o].rs, mid + 1, r, x, k);
        pushup(o); 
    }
    int qrymin(int o, int l, int r, int pivot){
        if(l == r) return l;
        if(hjt[hjt[o].ls].lst < pivot) return qrymin(hjt[o].ls, l, mid, pivot);
        else return qrymin(hjt[o].rs, mid + 1, r, pivot);
    }

2. 颜色段均摊 + 可持久化线段树

这个做法非常具有拓展性和启发性。

不妨考虑扫描线，每次把右端点 \(r\) 向右移动一段，然后使用线段树维护 \(l = 1 \dots r\) 的 \([l, r]\) 的答案。不难发现 \(\rm mex\) 具有单调性，且有很多连续段。考虑颜色段均摊，将 \(\rm mex\) 相同的区间看作一个颜色段，每次加入 \(x = a_r\) 就在线段树上二分找到 \([l_x, r_x]\) 这个 \(\rm mex = x\) 的颜色段，然后把这个颜色段 \(+1\)。 接着找到最右位置小于等于 \(r_x\) 最右的出现位置 \(p\)，将颜色段分裂为 \([l_x, p], [p + 1, r]\) 两个区间。然后把左边的区间 \(\rm mex\) 更新，不断重复这个过程，直到某个数没有出现。

但是时间复杂度呢？实际上这个取决于分裂的次数，相当于新建段或者和合并段的次数。注意到，每次加入一个数，只有可能使得 \([l_x, r_x]\) 分裂出来最左边的段和前面最右的段合并，即总共只会合并 \(O(n)\) 次。最多新建段的个数也是 \(O(n)\) 的。于是时间复杂度 \(O(n \log n)\)，将线段树可持久化就可以实现在线回答询问。

例题：CF1148H Holy Diver

3. 二维数点

这个相当于是上面的本质。考虑对于每个位置 \(i\) 找到上一个同色位置 \(lst_i\)，在 \((lst_i, i)\) 放上一个权值为 \(a_i\) 的点，则查询区间 \([l, r]\) \(\rm mex\) 等价于数 \(x_i < l\) 且 \(y_i > r\) 的点的最小权值。二维数点即可。可以拓展到高维的 \(\rm mex\)。

• 极小 \(\rm mex\) 区间

我们定义一个区间 \([l, r]\) 是极小 \(\rm mex\) 区间，当 \(\operatorname{mex}(l, r) \ne \operatorname{mex}(l + 1, r), \operatorname{mex}(l, r) \ne \operatorname{mex}(l, r - 1)\)。

接下来证明这样的区间只会有 \(O(n)\) 个。

不妨考虑固定左端点 \(l\)，寻找符合条件的 \(r\)，那么不难发现，需要满足 \(\operatorname{mex}(l + 1, r) = a_l\)，由于固定 \(l\) 时是单调不降的，那么满足条件的我们取最左边的一个即可。固定右端点也是一样的。因此严格上界是 \(2n\) 个。

构造方法很简单，不再写了。

例题：套娃