随笔分类 - 知识点学习
摘要：摘自 command_block 大佬的笔记 基础： 积性函数：若当 \((i,j) = 1\) 有 \(f(i \times j) = f(i) \times f(j)\)，则称 \(f\) 为积性函数。 完全积性函数：若当 \(f(i \times j) = f(i) \times f(j)\)
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摘要：定义： 欧拉函数（记为 \(\phi(n)\)），表示的是一个数 \(n\) 与小于等于它的数中有多少个满足 \(\gcd(n, x) = 1\) ，即为互质。 计算公式： \(\phi(n) = n \cdot \prod_{i = 1}^{cntn}(p_i - 1)\) （其中 \(p_i\)
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摘要：link 简介： 主席树是一种可持久化数据结构，全称为可持久化权值线段树，支持查询历史版本内信息，单点修改同时新建版本等操作，也是一种函数式线段树， 可支持完全持久化。 原理： 首先考虑朴素的做法，每次新建版本时都 copy 一份，并且在这个 copy 下来的版本上面进行操作。这种做法空间复杂度是很
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摘要：cdq 分治: 一个长度为 \(n\) 的序列，统计有一些特性的点对 \((i,j)\) 的数量/找到一对点 \((i,j)\) 使得一些函数的值最大。对于这一类问题，我们考虑使用 \(\rm cdq\) 分治思想来解决。 什么是 \(\rm cdq\) 分治思想？ \(\rm cdq\) 解决这种
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摘要：P3369 【模板】普通平衡树 前言： 平衡树是一种二叉搜索树，通过一些方法来做到快速维护单点或区间信息和快速查询单点或区间信息，其中包括排名、前驱等等。在 \(\rm STL\) 库中虽有实现，但是由于封装的太好以及是可持久化数据结构的基础，还是需要学习的。 FHQ Treap: FHQ Trea
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摘要：link1 link2 前言： 树链剖分实际上就是一种将树形结构剖分成一条条链状结构，并用线性数据结构来快速维护信息。 重链剖分： 一些定义： 重儿子：一个节点的重儿子定义为它的子节点中子树节点最大的节点。 轻儿子：一个节点除重儿子外的所有儿子 重边：一个节点到它的重儿子的边即为重边 轻边：一个节点
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摘要：矩阵的定义： 矩阵（matrix）其实就是一个二维数组，第 \(i\) 行 \(j\) 列的元素即为 \(a_{i,j}\) 矩阵的运算： 加减： 它们均为逐个元素进行。只有同型矩阵之间可以对应相加减。 转置： 矩阵的转置，就是在矩阵的右上角写上转置「T」记号，表示将矩阵的行与列互换。 对称矩阵转置
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摘要：定义： 割点：将原图中的某一点以及它所连的边删除后，原图不连通。 桥：将原图中的某一边删除后，原图不连通。 边双连通分量：原图中意删除一边后还连通的极大连通子图。 点双连通分量：原图中任意删除一点后还连通的极大连通子图。 求法： 割点： 考虑原图的 dfs 生成树，对于树边更新 : \(low[u]
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摘要：定义： 欧拉路径：指图中的一条路径，使得所有边都被经过且只经过一次 欧拉回路：指图中的一条欧拉路径，且起点和终点相同。 欧拉图：指有欧拉回路的图 半欧拉图：指有欧拉路径但没有欧拉回路的图 性质： 1.如果一个无向图是欧拉图，那么所有节点的度数均为偶数 2.如果一个无向图是半欧拉图，那么除了两个节点的
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摘要：定义： 强连通指的是对于一个有向图，每个点都有路径到另外一个点。 强连通分量则指的是对于一个图，它的极大强连通子图。 tanjan 求法： 对于一个图，考虑他的 dfs 生成树（即为对原图进行 dfs 的一棵树）。 那么对于这棵树，搜索时会出现四种边： 树枝边：搜索到没被访问过的节点，且在树中是当前
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摘要：笛卡尔树实际上就是对于多个二元组 \((k_i,w_i)\) 的一棵树，使其所有 \(k\) 值满足二叉搜索树的性质，且所有 \(w\) 值都满足小根堆的性质。 在构建时，对于右链上的元素，自底向上一定是 \(w\) 值由小到大的，且一定 \(k\) 值从小到大。 所以我们按 \(k\) 值从小到大
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摘要：容斥原理： 容斥原理是一种在知道所有集合之间的交，求集合之间的并的数学方法。（注：交即为两个集合之间相同的部分，记作 \(|A| \cap |B|\) ） problem： 设 \(U\) 中元素有 \(n\) 种不同的属性，而第 \(i\) 种属性称为 \(P_i\)，拥有属性 \(P_i\) 的
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摘要：link 树同构是树哈希与换根 dp 的结合。 树哈希是哈希中的一个种类，这里先给出哈希函数： \[\operatorname{treehash}(u)=\sum \operatorname{xorshift}(\operatorname{treehash}(v)) \]这里使用 unsigned
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摘要：I.基本定义： 网络：一张有向图。 流量：经过一条边的流的大小，一条边 \((u,v)\) 的流量记为 \(flow(u,v)\)， 一个网络的流量定义为 \(∑f(s,x)\)。 容量：一条边的流量上限，一条边 \((u,v)\) 的容量记为 \(cap(u,v)\)。 费用：经过一条边单位流量的
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摘要：点分治是一类高效统计树上路径问题的算法，通过优化递归深度的方法来有效保证时间复杂度。 具体操作一般是以下几步： 找到当前子树的重心 以重心为根计算经过根节点的路径对答案的贡献 将根删去并递归处理它的所有子树 因为我们每次都以树的重心来作为根节点，递归深度不会超过 \(\log n\) 层。 每一层又
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